Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, một cabin cáp treo xuất phát từ điểm $ A\left ( { 10;3;0 } \right ) $và chuyển động đều theo đường cáp có vectơ chỉ phương là $ \overset\rightarrow { u }\left ( { 2;-2;1 } \right ) $ với tốc độ $ 4,5 $ m/s (đơn vị trên mỗi trục tọa độ là mét). Một camera giám sát an toàn đặt tại $ I\left ( { 50;-10;50 } \right ) $. Hỏi sau bao nhiêu giây kể từ khi cabin xuất phát thì cabin gần camera giám sát an toàn nhất? (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).

Ta biểu diễn tọa độ của cabin tại thời điểm t (s) như sau: $ M\left ( { 10+3t;\ 3-3t;\ 1,5t } \right ) $. Do camera đặt tại điểm $ I\left ( { 50;-10;50 } \right ) $ nên khoảng cách từ cabin đến camera là $ MI=\sqrt[] { \left ( { 10+3t-50 } \right ) ^ { 2 } +\left ( { \ 3-3t+10 } \right ) ^ { 2 } +\left ( { \ 1,5t-50 } \right ) ^ { 2 } }=\sqrt[] { \left ( { 3t-40 } \right ) ^ { 2 } +\left ( { \ 13-3t } \right ) ^ { 2 } +\left ( { \ 1,5t-50 } \right ) ^ { 2 } } $ Xét hàm $ f\left ( { t } \right )=MI ^ { 2 } =\left ( { 3t-40 } \right ) ^ { 2 } +\left ( { \ 13-3t } \right ) ^ { 2 } +\left ( { \ 1,5t-50 } \right ) ^ { 2 } $ Ta có: $ f\left ( { t } \right )=20,25t ^ { 2 } -468t+4269 $ $ ⇒f'\left ( { t } \right )=40,5t-468=0⇒t=\frac { 104 } { 9 }≈12 $. Lập bảng biến thiên, ta suy ra $ \mathop { \min } \limits_{ \left [ { 0\,;\,+\infty } \right ) } f\left ( { t } \right )=f\left ( { \frac { 104 } { 9 } } \right ) $.