Trong không gian với hệ trục tọa độ $ Oxyz $, một tấm bảng đồng chất có dạng hình vuông $ ABCD $ tâm $ O $ được treo nghiêng bởi 4 sợi dây $ IA,IB,IC,ID $ gắn cố định tại điểm $ I\left ( { 0;0;9 } \right ) $ như hình vẽ. Điểm $ O\left ( { 0;0;5 } \right ) $; $ A\left ( { -\sqrt[] { 2 };\sqrt[] { 2 };5 } \right ) $và góc $ \widehat { OID } $ đạt giá trị lớn nhất. Gọi $ \overset\rightarrow { F_{ 1 } },\overset\rightarrow { F_{ 2 } },\overset\rightarrow { F_{ 3 } },\overset\rightarrow { F_{ 4 } } $ lần lượt là lực căng của các sợi dây $ IB,IC,ID,IA $. Biết rằng $ \left | { \overset\rightarrow { F_{ 1 } } } \right |=50 $N và $ \left | { \overset\rightarrow { F_{ 2 } } } \right |=40 $N Tính khối lượng $ m $(kg) của tấm bảng (Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị) (Cho gia tốc trọng trường $ g=9,8 $(m/s2) và trọng lượng của tấm bảng được tính bằng công thức $ P=m.g $)

Do $ O $ là trung điểm của $ AC $ nên $ C\left ( { \sqrt[] { 2 };\,-\sqrt[] { 2 };\,5 } \right ) $ và gọi $ D\left ( { a;\,b;\,c } \right ) $ Khi đó $ \overset\rightarrow { OD }=\left ( { a;\,b;\,c-5 } \right ) $; $ \overset\rightarrow { AC }=\left ( { 2\sqrt[] { 2 };\,-2\sqrt[] { 2 };0 } \right ) $ mà hai vectơ này vuông góc với nhau Từ đó $ 2\sqrt[] { 2 }a=2\sqrt[] { 2 }b⇔a=b⇒\overset\rightarrow { DC }=\left ( { a-\sqrt[] { 2 };\,a+\sqrt[] { 2 };\,c-5 } \right );\,\overset\rightarrow { DA }=\left ( { a+\sqrt[] { 2 };\,a-\sqrt[] { 2 };\,c-5 } \right ) $ Ta có: $ \overset\rightarrow { ID }=\left ( { a;\,a;\,\sqrt[] { 4-2a ^ { 2 } }-4 } \right );\,\overset\rightarrow { IO }=\left ( { 0;\,0;\,-4 } \right )⇒\cos \widehat { OID }=\frac { 16-4\sqrt[] { 4-2a ^ { 2 } } } { 16\sqrt[] { a ^ { 2 } +a ^ { 2 } +\left ( { 4-4\sqrt[] { 4-2a ^ { 2 } } } \right ) ^ { 2 } } } $ Khảo sát hàm số $ f\left ( { a } \right )=\frac { 16-4\sqrt[] { 4-2a ^ { 2 } } } { 16\sqrt[] { a ^ { 2 } +a ^ { 2 } +\left ( { 4-4\sqrt[] { 4-2a ^ { 2 } } } \right ) ^ { 2 } } } $ tìm được $ a=\frac { \sqrt[] { 6 } } { 2 } $ Vậy tọa độ các điểm: $ A\left ( { -\sqrt[] { 2 };\sqrt[] { 2 };5 } \right ) $; $ B\left ( { -\frac { \sqrt[] { 6 } } { 2 };\,-\frac { \sqrt[] { 6 } } { 2 };\,1 } \right ) $; $ C\left ( { \sqrt[] { 2 };\,-\sqrt[] { 2 };\,5 } \right ) $; $ D\left ( { \frac { \sqrt[] { 6 } } { 2 };\,\frac { \sqrt[] { 6 } } { 2 };\,6 } \right ) $ Ta có: $ \overset\rightarrow { IA }=\left ( { -\sqrt[] { 2 };\,\sqrt[] { 2 };\,-4 } \right )⇒\left | { \overset\rightarrow { IA } } \right |=2\sqrt[] { 5 } $; $ \overset\rightarrow { IC }=\left ( { \sqrt[] { 2 };\,-\sqrt[] { 2 };\,-4 } \right )⇒\left | { \overset\rightarrow { IC } } \right |=2\sqrt[] { 5 } $ Vậy $ \left | { \overset\rightarrow { F_{ 4 } } } \right |=\left | { \overset\rightarrow { F_{ 2 } } } \right |=k.2\sqrt[] { 5 }=40⇒k=4\sqrt[] { 5 } $ Suy ra $ \overset\rightarrow { F_{ 2 } }=\left ( { -4\sqrt[] { 10 };\,4\sqrt[] { 10 };\,-16\sqrt[] { 5 } } \right ) $; $ \overset\rightarrow { F_{ 4 } }=\left ( { 4\sqrt[] { 10 };\,-4\sqrt[] { 10 };\,-16\sqrt[] { 5 } } \right ) $ Tương tự $ \overset\rightarrow { IB }=\left ( { -\frac { \sqrt[] { 6 } } { 2 };\,-\frac { \sqrt[] { 6 } } { 2 };\,-5 } \right )⇒\left | { \overset\rightarrow { IB } } \right |=2\sqrt[] { 7 } $; $ \overset\rightarrow { ID }=\left ( { \frac { \sqrt[] { 6 } } { 2 };\,\frac { \sqrt[] { 6 } } { 2 };\,-3 } \right )⇒\left | { \overset\rightarrow { ID } } \right |=2\sqrt[] { 3 } $ Sử dụng tỉ lệ giữa độ dài dây và độ lớn lực: $ \frac { \left | { \overset\rightarrow { F_{ 1 } } } \right | } { \left | { \overset\rightarrow { F_{ 3 } } } \right | }=\frac { 2\sqrt[] { 7 } } { 2\sqrt[] { 3 } }⇒\left | { \overset\rightarrow { F_{ 3 } } } \right |=\frac { 50\sqrt[] { 21 } } { 7 } $ Suy ra $ \overset\rightarrow { F_{ 3 } }=\left ( { \frac { 25\sqrt[] { 42 } } { 14 };\,-\frac { 25\sqrt[] { 42 } } { 14 };\,-\frac { 75\sqrt[] { 7 } } { 7 } } \right ) $; $ \overset\rightarrow { F_{ 1 } }=\left ( { -\frac { 25\sqrt[] { 42 } } { 14 };\,-\frac { 25\sqrt[] { 42 } } { 14 };\,-\frac { 125\sqrt[] { 7 } } { 7 } } \right ) $ Để hệ cân bằng thì $ \overset\rightarrow { F_{ 1 } }+\overset\rightarrow { F_{ 2 } }+\overset\rightarrow { F_{ 3 } }+\overset\rightarrow { F_{ 4 } }=\overset\rightarrow { P }=\left ( { 0;\,0;\,-32\sqrt[] { 5 }-\frac { 200\sqrt[] { 7 } } { 7 } } \right )⇒\left | { P } \right |=\frac { 200\sqrt[] { 7 } } { 7 }+32\sqrt[] { 5 } $ Vậy khối lượng của thanh kim loại là: $ m=\frac { P } { g }=\frac { \frac { 200\sqrt[] { 7 } } { 7 }+32\sqrt[] { 5 } } { 9,8 }=15,015≈15 $(kg)