Nhân dịp lễ 30/4/2025, tại Quảng trường trung tâm TP. Hồ Chí Minh diễn ra màn trình diễn máy bay trực thăng kéo cờ Tổ quốc và cờ Đảng. Hai máy bay cất cánh cùng lúc từ một địa điểm. Sau một thời gian chiếc thứ nhất cách điểm xuất phát 3 km về phía Nam và 1 km về phía Đông, đồng thời cách mặt đất 1 km. Chiếc thứ hai nằm cách điểm xuất phát 2 km về phía Bắc và 1 km về phía Tây, đồng thời cách mặt đất 500m. Cùng thời điểm đó, một chiến sĩ công an đứng trên mặt đất quan sát thấy hai chiếc máy bay nói trên. Biết rằng, so với các vị trí quan sát trên mặt đất, vị trí chiến sĩ công an đứng có tổng khoảng cách đến hai chiếc máy bay là nhỏ nhất. Khoảng cách từ vị trí chiến sĩ công an quan sát đến địa điểm xuất phát của hai chiếc máy bay là bao nhiêu km (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

Xét hệ trục tọa độ Oxyz với điểm xuất phát của hai máy bay là gốc $ O\left ( { 0,0,0 } \right ) $, trục Ox: hướng đông, trục Oy: hướng Bắc, trục Oz hướng lên trên và mặt đất là mặt phẳng $ \left ( { Oxy } \right ) $. Đơn vị trên mỗi hệ trục tọa độ là 1 km. Sau một thời gian máy bay thứ nhất cách điểm xuất phát 3 km về phía Nam và 1 km về phía Đông, đồng thời cách mặt đất 1 km nên máy bay thứ nhất có tọa độ là $ A\left ( { 1;-3;1 } \right ) $. Tương tự máy bay thứ hai có tọa độ là $ B\left ( { -1;2;0,5 } \right ) $. Gọi C là điểm đối xứng với A qua $ \left ( { Oxy } \right ) $. Ta có $ C\left ( { 1;-3;-1 } \right ) $ Chiến sĩ công an đứng trên mặt đất, nên có tọa độ $ P\left ( { x,y,0 } \right ). $ Có $ PA+PB=PC+PB\geq BC $. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $ P,B,C $ thẳng hàng $ \overset\rightarrow { BC }=\left ( { 2;-5;-1,5 } \right ) $ và $ \overset\rightarrow { BP }=\left ( { x+1;y-2;-0,5 } \right )⇒\frac { x+1 } { 2 }=\frac { y-2 } { -5 }=\frac { -0,5 } { -1,5 }⇒\left \{ \begin{array}{l} x=-\frac { 1 } { 3 } \\ y=\frac { 1 } { 3 } \end{array} \right. $ $ ⇒P\left ( { \frac { -1 } { 3 };\frac { 1 } { 3 };0 } \right )$$ ⇒OP=\sqrt[] { \frac { 1 } { 9 }+\frac { 1 } { 9 }+0 }=\frac { \sqrt[] { 2 } } { 3 }≈0,47 $.