Cho hàm số $y = \frac{ax^{2} + bx + c}{x + d}$ có đồ thị như hình vẽ dưới đây. Tính $a + b + c + d$.

Lời giải Dựa vào đồ thị ta có tiệm cận đứng $x = -1$ suy ra $d = 1$. Đồ thị hàm số đi qua gốc tọa độ $O(0; 0)$ suy ra $c = 0$. Hàm số có dạng $y = \frac{ax^{2} + bx}{x + 1}$ có đồ thị đi qua điểm $(-2; 4)$ suy ra $4a - 2b = -4$ (1). $$ y' = \frac{(2ax + b)(x + 1) - (ax^{2} + bx)}{(x + 1)^{2}} = \frac{ax^{2} + 2ax + b}{(x + 1)^{2}} $$ Đồ thị hàm số có điểm cực đại $O(0; 0)$, suy ra phương trình $y' = 0$ có nghiệm $x = 0$, suy ra $b = 0$ (2). Thay (2) vào (1) ta được $a = -1$. Hàm số $y = \frac{-x^{2}}{x + 1}$. Do đó $a + b + c + d = -1 + 0 + 0 + 1 = 0$.