Trong không gian $ Oxyz $, một khinh khí cầu ở tọa độ $ A\left ( { -16;-10;10 } \right ) $ bắt đầu bay với vectơ vận tốc không đổi $ v=\left ( { 4;3;-1 } \right ) $ (đơn vị vận tốc là km/h) và dự kiến bay trong thời gian 10 giờ. Biết trạm kiểm soát không lưu đặt ở vị trí gốc tọa độ $ O $ kiểm soát được các vật thể cách trạm một khoảng tối đa bằng 12km. Thời gian kể từ khi trạm kiểm soát không lưu phát hiện ra khinh khí cầu đến khi khinh khí cầu ra khỏi vùng kiểm soát là bao nhiêu phút?

Phương trình tham số của đường thẳng $ d $ đi qua điểm $ A\left ( { -16;-10;10 } \right ) $ và có vectơ chỉ phương $ v=\left ( { 4;3;-1 } \right ) $ là: $ \left \{ \begin{array}{l} x=-16+4t \\ y=-10+3t \\ z=10-t \end{array} \right. $ $ \left ( { t\in \mathbb{R} } \right ) $ Gọi $ B $ là vị trí của khinh khí cầu mà trạm kiểm soát có thể kiểm soát được $ ⇒OB\leq 12 $ Vì $ B\in d⇒B\left ( { -16+4t;-10+3t;10-t } \right ) $ $ ⇒\sqrt[] { \left ( { -16+4t } \right ) ^ { 2 } +\left ( { -10+3t } \right ) ^ { 2 } +\left ( { 10-t } \right ) ^ { 2 } }\leq 12⇔26t ^ { 2 } -208t+312\leq 0⇔2\leq t\leq 6 $ $ \left \{ \begin{array}{l} t=2⇒B_{ 1 } \left ( { -8;-4;8 } \right ) \\ t=6⇒B_{ 2 } \left ( { 8;8;4 } \right ) \end{array} \right.⇒\overset\rightarrow { B_{ 1 } B_{ 2 } }=\left ( { 16;12;-4 } \right ) $ Khinh khí cầu bị phát hiện ra khi di chuyển từ $ B_{ 1 } $ đến $ B_{ 2 } $. Ta thấy $ \overset\rightarrow { B_{ 1 } B_{ 2 } }=4\overset\rightarrow { v } $ nên thời gian từ khi trạm kiểm soát không lưu phát hiện ra khinh khí cầu đến khi khinh khí cầu ra khỏi vùng kiểm soát là 4h = 240 phút.