Một nhà máy sản xuất linh kiện điện tử có ba dây chuyền sản xuất A, B và C. Dây chuyền A sản xuất $ 50\% $ số linh kiện, dây chuyền B sản xuất $ 30\% $ và dây chuyền C sản xuất $ 20\% $ số linh kiện. Tỷ lệ phế phẩm của từng dây chuyền lần lượt là $ 2\% $, $ 3\% $ và $ 1\% $. Chọn một linh kiện ngẫu nhiên và phát hiện là phế phẩm thì xác suất để linh kiện đó được sản xuất từ dây chuyền A là bao nhiêu?

Gọi các biến cố: $ A $: “Linh kiện được sản xuất từ dây chuyền A” $ B $: “Linh kiện được sản xuất từ dây chuyền B” $ C $: “Linh kiện được sản xuất từ dây chuyền C” $ D $: “Linh kiện là phế phẩm”. Dựa vào dữ liệu đề bài ta có: $ P\left ( { A } \right )=0.5 $ $ P\left ( { B } \right )=0.3 $ $ P\left ( { C } \right )=0.2 $ $ P\left ( { D\|A } \right )=0.02 $ $ P\left ( { D\|B } \right )=0.03 $ $ P\left ( { D\|C } \right )=0.01 $. Xác suất để sản xuất một linh kiện phế phẩm là: $ P\left ( { D } \right )=P\left ( { A } \right ).P\left ( { D\|A } \right )+P\left ( { B } \right ).P\left ( { D\|B } \right )+P\left ( { C } \right ).P\left ( { D\|C } \right )=0,5.0,02+0,3.0,03+0,2.0,01=0,021. $ Nếu chọn một linh kiện ngẫu nhiên và phát hiện là phế phẩm thì xác suất để linh kiện đó được sản xuất từ dây chuyền A là: $ P\left ( { A\|D } \right )=P\left ( { A } \right ).\frac { P\left ( { D\|A } \right ) } { P\left ( { D } \right ) }=0,5.\frac { 0,02 } { 0,021 }\simeq 0,48 $.