Cho $ \lim\limits_{ x→\,+\,∞ } \left ( { \frac { 7x ^ { 2 } +4x+1 } { 2x-3 }+mx+n } \right )=\,4 $. Tính giá trị của biểu thức $ 2m+4n $.

Ta có $ \frac { 7x ^ { 2 } +4x+1 } { 2x-3 }+mx\,+\,n\,=\,\left ( { \frac { 7 } { 2 }+m } \right )x+n+\frac { 29 } { 4 }+\frac { 91 } { 4\left ( { 2x-3 } \right ) } $ và $ \lim\limits_{ x→+∞ } \frac { 91 } { 4\left ( { 2x-3 } \right ) }=0 $ Nên $ \lim\limits_{ x→\,+\,∞ } \left ( { \frac { 7x ^ { 2 } +4x+1 } { 2x-3 }+mx+n } \right )=\,4 $ khi $ \left \{ \begin{array}{l} \frac { 7 } { 2 }+m=0 \\ n+\frac { 29 } { 4 }=4 \end{array} \right. $ hay $ \left \{ \begin{array}{l} m=-\frac { 7 } { 2 } \\ n=-\frac { 13 } { 4 } \end{array} \right. $. Do đó $ 2m+4n=2\left ( { -\frac { 7 } { 2 } } \right )+4\left ( { -\frac { 13 } { 4 } } \right )=-20 $.