Đúng/Sai · Câu 20
Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ có cạnh $a$. Khi đó:
Chọn Đúng hoặc Sai cho từng ý.
Xem đáp án và lời giải
Kết quả từng mệnh đề
- a. Đúng
- b. Sai
- c. Đúng
- d. Sai
Lời giải
a) Đúng
b) Sai
c) Đúng
d) Sai
Lời giải
a) Ta có:
$$
\begin{cases} A'D' \perp AA' \\ A'D' \perp A'B'
\end{cases} \Rightarrow A'D' \perp (ABB'A').
$$
b) Từ câu a và $AB' \subset (ABB'A')$ nên $A'D' \perp AB'$.
Vậy $(A'D', AB') = 90^\circ$.
c) Gọi $O$ là tâm hình vuông $A'B'C'D'$ nên $A'O \perp B'D'$.
Mặt khác $AA' \perp B'D'$ nên $B'D' \perp (AA'O)$.
d) Kẻ đường cao $A'H$ trong tam giác $AA'O$.
Khi đó:
$$
\begin{cases} A'H \perp AO \\ A'H \perp B'D' \end{cases} \Rightarrow A'H \perp (AB'D').
$$
Do vậy $H$ là hình chiếu của $A'$ lên mặt phẳng $(AB'D')$.
Hình vuông $A'B'C'D'$ có đường chéo $A'C' = a\sqrt{2} \Rightarrow A'O = \frac{a\sqrt{2}}{2}$.
Tam giác $AA'O$ vuông tại $A'$ có đường cao $A'H$ nên:
$$
\frac{1}{A'H^2} = \frac{1}{AA'^2} + \frac{1}{A'O^2} = \frac{1}{a^2} + \frac{2}{a^2} = \frac{3}{a^2} \Rightarrow A'H = \frac{a\sqrt{3}}{3}.
$$