Cho lăng trụ tam giác $ABC.A'B'C'$ có tam giác $ABC$ vuông cân tại $A$, $AA'$ vuông góc với mặt đáy, $AB = a, AA' = 2a$. Gọi $(\alpha)$ là mặt phẳng qua $A$ và vuông góc $B'C$. $(\alpha)$ cắt $BC, CC'$ lần lượt tại $H, K$. Diện tích tam giác $AHK$ có dạng $ma^{2}$. Tìm $m$ (làm tròn kết quả đến hàng phần chục).

Lời giải Ta có $AH \perp BC, AH \perp BC'$ suy ra $AH \perp (BCC'B') \Rightarrow AH \perp HK$. Do đó tam giác $AHK$ vuông tại $H$. Suy ra: $$ S_{AHK} = \frac{1}{2} AH \cdot HK $$ Để tính độ dài $HK$, ta đặt $\overrightarrow{CK} = x \cdot \overrightarrow{CC'}$. Ta có: $\overrightarrow{HK} = \overrightarrow{HC} + \overrightarrow{CK}$ và $\overrightarrow{B'C} = \overrightarrow{B'B} + \overrightarrow{BC}$. Do $B'C \perp HK$ nên $\overrightarrow{B'C} \cdot \overrightarrow{HK} = 0$: $$ \Leftrightarrow \Big( \overrightarrow{HC} + \overrightarrow{CK} \Big) \cdot \Big( \overrightarrow{B'B} + \overrightarrow{BC} \Big) = 0 $$ $$ \Leftrightarrow \overrightarrow{HC} \cdot \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CK} \cdot \overrightarrow{B'B} = 0 $$ $$ \Leftrightarrow a \cdot \frac{a}{2} + CK \cdot 2a \cdot (-1) = 0 \Leftrightarrow CK = \frac{a}{4} $$ Ta có: $$ HK = \sqrt{HC^{2} + CK^{2}} = \frac{a\sqrt{5}}{4} $$ $$ AH = \frac{a\sqrt{2}}{2} $$ Suy ra: $$ S_{AHK} = \frac{a^{2}\sqrt{10}}{16} $$ Suy ra $m = \dfrac{\sqrt{10}}{16} \approx 0,2$.