Cho hình lăng trụ đứng $ABC.A'B'C'$, biết đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh $2a$. Khoảng cách từ trọng tâm $O$ của tam giác $ABC$ đến mặt phẳng $(A'BC)$ bằng $\frac{a}{3}$. Thể tích khối lăng trụ $ABC.A'B'C'$ có dạng $ma^{3}$. Hỏi $m$ bằng bao nhiêu?

Lời giải Gọi $M$ là trung điểm của $BC$. Ta có $(A'AM) \perp (A'BC)$ theo giao tuyến $A'M$. Trong $(A'AM)$ kẻ $OH \perp A'M \, (H \in A'M) \Rightarrow OH \perp (A'BC)$. Suy ra: $d\Big( O, (A'BC) \Big) = OH = \frac{a}{3}$. Xét hai tam giác vuông $\Delta A'AM$ và $\Delta OHM$ có góc $\widehat{M}$ chung nên chúng đồng dạng. Suy ra: $$ \frac{OH}{A'A} = \frac{OM}{A'M} $$ $$ \Rightarrow \frac{\frac{a}{3}}{A'A} = \frac{\frac{1}{3} \cdot a\sqrt{3}}{\sqrt{A'A^{2} + AM^{2}}} $$ $$ \Rightarrow \frac{1}{A'A} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{A'A^{2} + \Big( a\sqrt{3} \Big)^{2}}} $$ $$ \Rightarrow A'A = \frac{a\sqrt{6}}{2} $$ Ta có: $$ S_{\Delta ABC} = \frac{(2a)^{2}\sqrt{3}}{4} = a^{2}\sqrt{3} $$ Vậy thể tích của hình lăng trụ là: $$ V_{ABC.A'B'C'} = S_{\Delta ABC} \cdot A'A = a^{2}\sqrt{3} \cdot \frac{a\sqrt{6}}{2} = \frac{3a^{3}\sqrt{2}}{2} \approx 2,12a^{3} $$