Cho hình lăng trụ $ABC.A'B'C'$ có đáy là tam giác đều cạnh $a$. Hình chiếu vuông góc của $B'$ lên mặt phẳng đáy trùng với trung điểm $H$ của cạnh $AB$. Biết khoảng cách giữa hai đường thẳng $AB$ và $B'C$ bằng $\frac{\sqrt{3}}{4}a$. Tính cosin góc giữa hai đường thẳng $B'C$ và $AA'$ (làm tròn hàng phần trăm).

Lời giải Ta có: $B'H \perp AB, CH \perp AB \Rightarrow AB \perp (B'HC)$. Trong mặt phẳng $(B'HC)$ dựng $HK \perp B'C$ mà $HK \perp AB$ suy ra $KH$ là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng $AB$ và $B'C$: $$ \Rightarrow HK = \frac{\sqrt{3}}{4}a $$ Mặt khác: $$ \frac{1}{HK^{2}} = \frac{1}{B'H^{2}} + \frac{1}{HC^{2}} \Rightarrow B'H = \frac{a}{2} $$ Do $AA' \parallel BB' \Rightarrow \widehat{(B'C, AA')} = \widehat{(B'C, BB')} = \widehat{CB'B}$. Ta có: $$ BB' = \sqrt{B'H^{2} + BH^{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}a, \quad BC = a, \quad B'C = \sqrt{B'H^{2} + HC^{2}} = a $$ Khi đó: $$ \cos\widehat{CB'B} = \frac{B'C^{2} + BB'^{2} - BC^{2}}{2B'C \cdot BB'} = \frac{\sqrt{2}}{4} \approx 0,35 $$