Đúng/Sai · Câu 24
Cho hình chóp $ S.ABCD $ có đáy $ ABCD $ là hình vuông cạnh $ a $ và $ SB=a\sqrt[] { 2 } $. Mặt phẳng $ \left ( { SAB } \right ) $ vuông góc với mặt phẳng $ \left ( { ABCD } \right ) $, biết tam giác $ SAB $ cân tại $ S $.
Chọn Đúng hoặc Sai cho từng ý.
Xem đáp án và lời giải
Kết quả từng mệnh đề
- a. Đúng
- b. Sai
- c. Đúng
- d. Đúng
Lời giải
a) Đúng. Gọi $ M $ là trung điểm của $ AB $. Vì $ ΔSAB $ cân tại $ S⇒SH⊥AB $.
Mà $ \left ( { SAB } \right )⊥\left ( { ABCD } \right )⇒SM⊥\left ( { ABCD } \right ) $.
Suy ra hình chiếu của điểm $ S $ xuống mặt phẳng $ \left ( { ABCD } \right ) $ là $ M $
($ M $ là trung điểm của cạnh $ AB $.
b) Sai. Vì đáy $ ABCD $ là hình vuông cạnh, nên $ DC⊥CB $.
Vậy hình chiếu của điểm $ D $ lên cạnh $ BC $ là điểm $ C $.
c) Đúng. Ta có $ \left \{ \begin{array}{l} BC⊥AB \\ BC⊥SM{ \rm{ } }\left ( { SM⊥\left ( { ABCD } \right ) } \right ) \end{array} \right.⇒BC⊥\left ( { SAB } \right )⇒BC⊥AK $.
Mà $ AK⊥SB⇒AK⊥\left ( { SBC } \right ) $.
Vậy hình chiếu của điểm $ A $ lên mặt phẳng $ \left ( { SBC } \right ) $
là điểm $ K $ nằm trên cạnh $ SB $.
d) Đúng. Hình chiếu của điểm $ S $ xuống mặt phẳng $ \left ( { ABCD } \right ) $ là $ M $, $ M $ là trung điểm $ AB $.
Xét $ ΔSMB $ vuông tại $ M $ có $ SB=a\sqrt[] { 2 },BM=\frac { AB } { 2 }=\frac { a } { 2 } $.
$ SB ^ { 2 } =SM ^ { 2 } +BM ^ { 2 } ⇔\left ( { a\sqrt[] { 2 } } \right ) ^ { 2 } =SM ^ { 2 } +\left ( { \frac { a } { 2 } } \right ) ^ { 2 } ⇔SM=\frac { a\sqrt[] { 7 } } { 2 } $.