Cho hình chóp $ S.ABCD $ có đáy là hình thoi $ ABCD $ tâm $ O $ và có $ SA=SC $, $ SB=SD $. Gọi $ I $, $ K $ lần lượt là trung điểm của các cạnh $ AB $, $ BC $. Tính $ \sin ^ { 2 } α $, với $ α $ là góc giữa hai đường thẳng $ IK $ và $ SD $.

Tam giác $ SAC $ cân tại $ S $ nên $ SO⊥AC $. Tam giác $ SBD $ cân tại $ S $ nên $ SO⊥BD $. Do $ SO $ vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau $ AC $ và $ BD $ trong $ \left ( { ABCD } \right ) $. $ ⇒SO⊥\left ( { ABCD } \right )⇒SO⊥IK $. Vì $ I $, $ K $ lần lượt là trung điểm của $ AB $, $ BC $ nên $ IK $ là đường trung bình của tam giác $ ABC $. Do đó $ IK\ { \rm{ // } }AC $. Mà $ AC⊥BD $. Suy ra $ IK⊥BD $. Ta có $ \left \{ \begin{array}{l} IK⊥BD \\ IK⊥SO \end{array} \right.⇒IK⊥\left ( { SBD } \right )⇒IK⊥SD $. Do đó $ α=90° $. Vậy $ \sin ^ { 2 } α=\sin ^ { 2 } 90°=1 $.