(Sở Hải Phòng 2025) Cho hàm số $ f\left ( { x } \right )=2x ^ { 2 } -3 $ và $ F\left ( { x } \right ) $ là một nguyên hàm của hàm số $ f\left ( { x } \right ) $

a) Đúng theo định nghĩa b) Sai $ \int _{ 0 }^{ 2 } { f\left ( { x } \right )dx }=\left. { \left ( { -\frac { x ^ { 3 } } { 3 }+4x } \right ) } \right|_{ -1 }^{ 2 }=\frac { 16 } { 3 } $ $ \int _{ 0 }^{ 2 } { f\left ( { x } \right )dx }=F\left ( { 2 } \right )-F\left ( { 0 } \right ) \\ \Rightarrow F\left ( { 2 } \right )=\int _{ 0 }^{ 2 } { f\left ( { x } \right )dx }+F\left ( { 0 } \right )=\frac { 16 } { 3 }+1=\frac { 19 } { 3 } $ c) Đúng $ \int _{ 0 }^{ 2 } { af\left ( { x } \right )dx }=32\Leftrightarrow a.\int _{ 0 }^{ 2 } { f\left ( { x } \right )dx }=32 $ $ \Leftrightarrow a.\frac { 16 } { 3 }=32\Leftrightarrow a=6 $ d) Đúng Đặt $ g\left ( { x } \right )=\left ( { ax ^ { 2 } +bx+c } \right ).e ^ { 3x } $ là một nguyên hàm của hàm số $ e ^ { 3x } .f\left ( { x } \right ) $ Khi đó: $ g'\left ( { x } \right )=e ^ { 3x } .f\left ( { x } \right )\Rightarrow 3.e ^ { 3x } \left ( { ax ^ { 2 } +bx+c } \right )+e ^ { 3x } .\left ( { 2ax+b } \right )=e ^ { 3x } .f\left ( { x } \right ) $ $ \Rightarrow 3\left ( { ax ^ { 2 } +bx+c } \right )+2ax+b=f\left ( { x } \right ) $ $ \Rightarrow 3ax ^ { 2 } +\left ( { 3b+2a } \right )x+3c+b=2x ^ { 2 } -3 $ Đồng nhất hai vế, ta được: $ \left \{ \begin{array}{l} 3a=2 \\ 2a+3b=0 \\ b+3c=-3 \end{array} \right.\Rightarrow \left \{ \begin{array}{l} a=\frac { 2 } { 3 } \\ b=-\frac { 4 } { 9 } \\ c=-\frac { 23 } { 27 } \end{array} \right. $ Vậy: $ \int _{ 0 }^{ 2 } { e ^ { 3x } f\left ( { x } \right )dx }=\left. { e ^ { 3x } \left ( { \frac { 2 } { 3 }x ^ { 2 } -\frac { 4 } { 9 }x-\frac { 23 } { 27 } } \right ) } \right|_{ 0 }^{ 2 }=e ^ { 6 } .\frac { 25 } { 27 }+\frac { 23 } { 27 } $ Kết luận: $ a=\frac { 23 } { 27 };\,b=25 $ và $ 27a-b=-2 $.