(THPT Thuận Thành 1&2 - Bắc Ninh 2025) Một bàn cờ vua gồm 8 x 8 ô vuông, mỗi ô có cạnh bằng 1 đơn vị. Một ô vừa là hình vuông hay hình chữ nhật, hai ô là hình chữ nhật, … Chọn ngẫu nhiên một hình chữ nhật trên bàn cờ. Xác suất để hình được chọn là một hình vuông có cạnh lớn hơn $ 4 $ đơn vị bằng $ \frac { a } { b } $ với $ \frac { a } { b } $ là phân số tối giản và $ a,\,b\in \mathbb{Z} $. Tính giá trị của biểu thức $ T=a+2b $.

Ta coi bàn cờ vua được xác định bởi 9 đường thẳng theo phương nằm ngang $ x=0;\,x=1;x=2;...;x=8 $. và $ 9 $ đường thẳng theo phương thẳng đứng $ y=0;\,y=1;y=2;....;y=8. $ Mỗi hình chữ nhật được tạo thành từ hai đoạn thẳng thuộc hai đường thẳng $ x_{ i } ,x_{ j } $ và hai đoạn thẳng thuộc các đường thẳng $ y_{ m } ,y_{ n } $ ($ i,j,m,n\in \left\{0;2;3;4;5;6;7;8\right\} $) nên có $ C_{ 9 } ^{ 2 }.C_{ 9 } ^{ 2 } $ hình chữ nhật. Suy ra số hình chữ nhật tạo thành là $ C_{ 9 } ^{ 2 }.C_{ 9 } ^{ 2 } ⇒n\left ( { Ω } \right )=C_{ 9 } ^{ 2 }.C_{ 9 } ^{ 2 }=1296. $ Gọi $ A $ là biến cố hình được chọn là hình vuông có cạnh $ a $ lớn hơn $ 4 $. Trường hợp 1: $ a=5 $. Khi đó mỗi hình vuông được tạo thành do hai đường thẳng $ x_{ i } ,x_{ j } $ cách nhau $ 5 $ đơn vị và hai đường thẳng $ y_{ m } ,y_{ n } $ cách nhau $ 5 $ đơn vị nên có $ 4.4=16 $ cách chọn. Trường hợp 2: $ a=6 $. Khi đó mỗi hình vuông được tạo thành do hai đường thẳng $ x_{ i } ,x_{ j } $ cách nhau $ 6 $ đơn vị và hai đường thẳng $ y_{ m } ,y_{ n } $ cách nhau $ 6 $ đơn vị có $ 3.3=9 $ cách chọn. Trường hợp 3: $ a=7 $. Khi đó mỗi hình vuông được tạo thành do hai đường thẳng $ x_{ i } ,x_{ j } $ cách nhau $ 7 $ đơn vị và hai đường thẳng $ y_{ m } ,y_{ n } $ cách nhau $ 7 $ đơn vị có $ 2.2=4 $ cách chọn. Trường hợp 4: $ a=8 $. Khi đó mỗi hình vuông được tạo thành do hai đường thẳng $ x_{ i } ,x_{ j } $ cách nhau $ 8 $ đơn vị và hai đường thẳng $ y_{ m } ,y_{ n } $ cách nhau $ 8 $ đơn vị nên có $ 1.1=1 $ cách chọn. Suy ra $ n\left ( { A } \right )=14+9+4+1=30 $. Xác suất để hình được chọn là một hình vuông có cạnh lớn hơn 4 đơn vị là:$ P\left ( { A } \right )=\frac { n\left ( { A } \right ) } { n\left ( { Ω } \right ) }=\frac { 30 } { 1296 } $=$ \frac { 5 } { 216 } $$ ⇒a=5;b=216⇒a+2b=437. $