(Sở Vĩnh Phúc 2025) Cho $ \cot\alpha =\frac { 1 } { 3 } $. Giá trị của biểu thức $ A=\frac { 3\sin\alpha -4\cos\alpha } { 2\sin\alpha +5\cos\alpha } $ bằng $ \frac { a } { b } $ (với $ a,b\in \mathbb{N},b\neq 0 $,$ \frac { a } { b } $ là phân số tối giản). Tính giá trị của biểu thức $ T=100\left ( { a+b } \right ) $.

Vì $ \cot\alpha =\frac { 1 } { 3 }⇔\frac { \cos\alpha } { \sin\alpha }=\frac { 1 } { 3 }⇔\sin\alpha =3\cos\alpha $. Ta có: $ A=\frac { 3\sin\alpha -4\cos\alpha } { 2\sin\alpha +5\cos\alpha }=\frac { 3.3\cos\alpha -4\cos\alpha } { 2.3\cos\alpha +5\cos\alpha }=\frac { 5\cos\alpha } { 11\cos\alpha }=\frac { 5 } { 11 } $. Khi đó: $ a=5;\,b=11 $. Vậy $ T=100\left ( { a+b } \right )=100(5+11)=1600 $.