Cho hai hàm số $f(x)$ và $g(x)$ thỏa mãn $\lim_{x \to 1} f(x) = \alpha$, $\lim_{x \to 1} g(x) = \beta$ và $\lim_{x \to 1} [f(x) + g(x)] = 1$, $\lim_{x \to 1} [f(x)g(x)] = -12$ với điều kiện $\alpha > \beta$. Hỏi giá trị của giới hạn $\lim_{x \to 1} \frac{f(x) + 2}{2g(x) + 7}$ là bao nhiêu?

Lời giải Ta có: $$ \left\{\begin{array}{l} \alpha + \beta = 1 \\ \alpha \cdot \beta = -12 \end{array}\right. \xrightarrow{\text{X}^{2} - (\alpha + \beta)\text{X} + \alpha \cdot \beta = 0} \left\{\begin{array}{l} \alpha = 4 \\ \beta = -3 \end{array}\right. $$ Vậy: $$ \lim_{x \to 1} \frac{f(x) + 2}{2g(x) + 7} = \frac{4 + 2}{-6 + 7} = 6 $$