Cho hai hàm số $f(x)$ và $g(x)$ thỏa mãn $\lim_{x \to 1} \frac{f(x)}{x - 1} = 9$, $\lim_{x \to 1} \frac{g(x)}{x^{2} - 1} = \frac{1}{2}$. Tính giới hạn $L = \lim_{x \to 1} \frac{(x + 1)f(x)}{g(x)}$.

Lời giải Ta có: $$ L = \lim_{x \to 1} \frac{(x + 1)f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to 1} \frac{(x + 1) \cdot \frac{f(x)}{x^{2} - 1}}{\frac{g(x)}{x^{2} - 1}} = \lim_{x \to 1} \frac{\frac{f(x)}{x - 1}}{\frac{g(x)}{x^{2} - 1}} = \frac{9}{\frac{1}{2}} = 18 $$