Biết $ \lim\limits_{ x→1 } \frac { \sqrt[3] { x+7 }-\sqrt[] { x+3 } } { x ^ { 2 } -3x+2 }=\frac { a } { b } $, trong đó $ a,b∈\mathbb{Z} $. Tính $ -106a+b $.

$ \lim\limits_{ x→1 } \frac { \sqrt[3] { x+7 }-\sqrt[] { x+3 } } { x ^ { 2 } -3x+2 }=\lim\limits_{ x→1 } \frac { \sqrt[3] { x+7 }-2 } { (x-1)(x-2) }+\lim\limits_{ x→1 } \frac { 2-\sqrt[] { x+3 } } { (x-1)(x-2) } $. $ Ta có: $\lim\limits_{ x→1 } \frac { \sqrt[3] { x+7 }-2 } { (x-1)(x-2) }=\lim\limits_{ x→1 } \frac { x+7-2 ^ { 3 } } { (x-1)(x-2)\left[ \sqrt[3] { (x+7) ^ { 2 } }+2\sqrt[3] { x+7 }+4 \right] } $. $ =\lim\limits_{ x→1 } \frac { 1 } { (x-2)\left ( { \sqrt[3] { (x+7) ^ { 2 } }+2\sqrt[3] { x+7 }+4 } \right ) }=-\frac { 1 } { 12 } $. và $ \lim\limits_{ x→1 } \frac { 2-\sqrt[] { x+3 } } { (x-1)(x-2) }=\lim\limits_{ x→1 } \frac { 2 ^ { 2 } -(x+3) } { (x-1)(x-2)(2+\sqrt[] { x+3 }) }=\lim\limits_{ x→1 } \frac { -1 } { (x-2)(2+\sqrt[] { x+3 }) }=\frac { 1 } { 4 }. $ Vậy $ \lim\limits_{ x→1 } \frac { \sqrt[3] { x+7 }-\sqrt[] { x+3 } } { x ^ { 2 } -3x+2 }=-\frac { 1 } { 12 }+\frac { 1 } { 4 }=\frac { 1 } { 6 }=\frac { a } { b }⇒a=1,b=6⇒-106a+b=-100. $