Cho hình lăng trụ đứng $ ABCD.A'B'C'D' $ có tất cả các cạnh bằng $ 2 $, $ \widehat { DAB }=120° $. Tính khoảng cách giữa $ BD $và $ CC' $.

Gọi $ O $ là tâm hình thoi $ ABCD $. $ ⇒O $là trung điểm của $ AC,BD $ và $ AC⊥BD $. Xét $ ΔABD $có: $ BD ^ { 2 } =AB ^ { 2 } +AD ^ { 2 } -2.AB.AD.\cos120° $( Định lí cosin) $ ⇒BD ^ { 2 } =12 $ $ ⇒BD=2\sqrt[] { 3 } \\ ⇒BO=\sqrt[] { 3 } $ Xét $ ΔAOB $có: $ AO ^ { 2 } +OB ^ { 2 } =AB ^ { 2 } (Pythago) $ $ ⇒AO ^ { 2 } =1 \\ ⇒AO=1 $ Vì $ CC'⊥(ABCD) ⇒CC'⊥CO $ Mà $ CO⊥BD ⇒CO $là đoạn vuông góc chung của $ BD $và $ CC' $. $ ⇒d(BD,CC')=CO=AO=1 $.