Cho lăng trụ tam giác $ ABC.A'B'C' $ có tất cả các cạnh bằng $ a $, góc tạo bởi cạnh bên và mặt phẳng đáy bằng $ 30° $. Hình chiếu $ H $ của điểm $ A $ trên mặt phẳng $ \left ( { A'B'C' } \right ) $ thuộc đoạn thẳng$ B'C' $.Khoảng cách giữa hai đường thẳng $ AA' $ và $ B'C' $ là $ \frac { a\sqrt[] { m } } { n } $, trong đó $ m,n∈\mathbb{N} $, $ m $ là số nguyên tố. Tính tổng $ m+n $.

Ta có $ A'H $ là hình chiếu của $ AA' $ lên mặt phẳng $ \left ( { A'B'C' } \right ) $ nên $ \widehat { AA'H }=30° $. Xét tam giác vuông $ AHA' $ ta có: $ AH=AA'\sin30°=\frac { a } { 2 };\,\,A'H=AA'\cos30°=\frac { a\sqrt[] { 3 } } { 2 } $. Mà tam giác $ A'B'C' $ đều nên $ H $ là trung điểm của $ B'C' $. Vẽ đường cao $ HK $ của tam giác $ AHA' $. Ta có $ B'C'⊥\left ( { AHA' } \right ) $ nên $ B'C'⊥HK $. Suy ra $ d\left ( { AA',B'C' } \right )=HK=\frac { AH.A'H } { AA' }=\frac { a\sqrt[] { 3 } } { 4 }. $Vậy $ m=3,n=4 $.