Cho hình lăng trụ tam giác đều $ABC.A'B'C'$ có cạnh đáy bằng $2a$, cạnh bên $AA' = a$. Các khẳng định sau đúng hay sai?

a) Đúng b) Đúng c) Sai d) Sai Lời giải a) Vì $\Big(ABC\Big) \parallel \Big(A'B'C'\Big)$ nên khoảng cách giữa đường thẳng $AB$ đến mặt phẳng $\Big(A'B'C'\Big)$ bằng khoảng cách giữa đường thẳng $A'B'$ đến mặt phẳng $\Big(ABC\Big)$. b) Vì $B'C' \parallel \Big(ABC\Big)$ nên $d\Big(B'C', \Big(ABC\Big)\Big) = d\Big(B', \Big(ABC\Big)\Big) = BB' = a$. c) Vì $AA' \parallel \Big(BCC'B'\Big)$ nên $d\Big(AA', \Big(BCC'B'\Big)\Big) = d\Big(A, \Big(BCC'B'\Big)\Big)$. Gọi $M$ là trung điểm $BC$. Ta có $\left\{ \begin{array}{l} AM \perp BC \\ AM \perp BB' \end{array} \right. \Rightarrow AM \perp \Big(BCC'B'\Big)$. Do đó $d\Big(A, \Big(BCC'B'\Big)\Big) = AM = a\sqrt{3}$ (đường cao tam giác đều cạnh $2a$). d) Gọi $M$ là trung điểm $BC$. Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $A$ lên $A'M$. Ta có $B'C' \parallel BC \Rightarrow B'C' \parallel \Big(A'BC\Big)$ nên $d\Big(B'C', \Big(A'BC\Big)\Big) = d\Big(B', \Big(A'BC\Big)\Big)$. Mặt khác ta có $AB'$ cắt $\Big(A'BC\Big)$ tại trung điểm của $AB'$ nên $d\Big(B', \Big(A'BC\Big)\Big) = d\Big(A, \Big(A'BC\Big)\Big)$. Ta có $\left\{ \begin{array}{l} BC \perp AM \\ BC \perp AA' \end{array} \right. \Rightarrow BC \perp \Big(AA'M\Big) \Rightarrow BC \perp AH \quad (1)$. Lại có $AH \perp A'M \quad (2)$. Từ $(1)$ và $(2)$ suy ra $AH \perp \Big(A'BC\Big)$. Do đó: $$ d\Big(A, \Big(A'BC\Big)\Big) = AH = \frac{AM \cdot AA'}{\sqrt{AM^{2} + AA'^{2}}} = \frac{a\sqrt{3} \cdot a}{\sqrt{3a^{2} + a^{2}}} = \frac{a\sqrt{3}}{2} $$