Cho hình chóp $S.ABCD$ có $SA$ vuông góc với mặt phẳng $\Big(ABCD\Big)$. Tứ giác $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$, $SA = 2a$. Gọi $M, N, H, K$ lần lượt là trung điểm của $SA, SC, AB, BC$.

a) Đúng b) Sai c) Sai d) Sai Lời giải a) Vì $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$ nên $CD \parallel AB \Rightarrow CD \parallel \Big(SAB\Big) \Rightarrow d\Big(CD, \Big(SAB\Big)\Big) = d\Big(D, \Big(SAB\Big)\Big) = DA = a$. b) Xét tam giác $SAC$ có $M, N$ lần lượt là trung điểm của $SA, SC$. Suy ra $MN \parallel AC \Rightarrow MN \parallel \Big(ABCD\Big) \Rightarrow d\Big(MN, \Big(ABCD\Big)\Big) = d\Big(M, \Big(ABCD\Big)\Big) = MA = \frac{1}{2}SA = a$. c) Vì $AB \parallel CD \Rightarrow AB \parallel \Big(SCD\Big) \Rightarrow d\Big(AB, \Big(SCD\Big)\Big) = d\Big(A, \Big(SCD\Big)\Big)$. Trong tam giác $SAD$ kẻ $AI \perp SD$ mà $CD \perp \Big(SAD\Big) \Rightarrow AI \perp CD$. Từ $\left\{ \begin{array}{l} AI \perp CD \\ AI \perp SD \end{array} \right. \Rightarrow AI \perp \Big(SCD\Big) \Rightarrow d\Big(A, \Big(SCD\Big)\Big) = AI$. Tam giác $SAD$ vuông tại $A$ nên: $$ \frac{1}{AI^{2}} = \frac{1}{AD^{2}} + \frac{1}{SA^{2}} = \frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{4a^{2}} = \frac{5}{4a^{2}} \Rightarrow AI = \frac{2a}{\sqrt{5}} $$ d) Vì $HK \parallel AC \Rightarrow HK \parallel \Big(SAC\Big) \Rightarrow d\Big(HK, \Big(SAC\Big)\Big) = d\Big(P, \Big(SAC\Big)\Big) = \frac{1}{2}BO = \frac{1}{4}BD = \frac{1}{4} \cdot a\sqrt{2} = \frac{a\sqrt{2}}{4}$ (với $P$ là giao điểm của $BD$ với $HK$, $O$ là tâm của hình vuông $ABCD$).