Cho hình tứ diện$ ABCD $ đều cạnh $ a $ với $ H $là trung điểm của $ CD $.Khoảng cách từ $ B $đến $ AH $ là $ \frac { \sqrt[] { m } } { 3 }a $.Tính $ m $.

$ \frac { OH } { BH }=\frac { 1 } { 3 }=\frac { d\left ( { O;AH } \right ) } { d\left ( { B;AH } \right ) } $ $ OH=\frac { 1 } { 3 }BH=\frac { 1 } { 3 }\frac { a\sqrt[] { 3 } } { 2 }=\frac { a\sqrt[] { 3 } } { 6 }:BO=\frac { a\sqrt[] { 3 } } { 3 };SO=\sqrt[] { AB ^ { 2 } -BO ^ { 2 } }=\sqrt[] { a ^ { 2 } -\frac { a ^ { 2 } } { 3 } }=\frac { \sqrt[] { 6 } } { 3 }a $ Xét tam giác $ AOH $vuông tại $ O $có $ \frac { 1 } { d ^ { 2 } \left ( { O;AH } \right ) }=\frac { 1 } { SO ^ { 2 } }+\frac { 1 } { OH ^ { 2 } }⇒d\left ( { O;AH } \right )=\frac { \sqrt[] { 6 } } { 9 }a $. Vậy $ d\left ( { B;AH } \right )=\frac { \sqrt[] { 6 } } { 3 }a $.