Cho hình chóp $ S.ABCD $ có $ ABCD $ là hình chữ nhật tâm $ I $, $ AB=a,\,BC=a\sqrt[] { 3 },\,H $ là trung điểm của $ AI $. Biết $ SH $ vuông góc với đáy và tam giác $ SAC $ vuông tại $ S $. Biết khoảng cách $ d $ từ $ A $ đến mặt phẳng $ \left ( { SBD } \right ) $ là $ a\sqrt[] { \frac { m } { n } } $, với $ m,n∈\mathbb{N} $ và $ m,n $ nguyên tố cùng nhau. Tính giá trị của $ m+n $.

Kẻ $ HE⊥BC $ tại $ E∈BD;HK⊥SE $ tại K. Suy ra $ HK⊥\left ( { SBD } \right ) $ do đó $ d\left ( { A,\left ( { SBD } \right ) } \right )=2d\left ( { H,\left ( { SBD } \right ) } \right )=2HK $. Do $ AC=BD=2a $ nên $ IA=IA=AB=a⇒ΔIAB $ đều Suy ra $ HE=HI.\sin60°=\frac { a } { 2 }.\frac { \sqrt[] { 3 } } { 2 }=\frac { a\sqrt[] { 3 } } { 4 }. $ Lại có $ SA ^ { 2 } =AH.AC=\frac { a } { 2 }.2a=a ^ { 2 } ⇒SA=a $; $ SH=\sqrt[] { SA ^ { 2 } -AH ^ { 2 } }=\sqrt[] { a ^ { 2 } -\frac { a ^ { 2 } } { 4 } }=\frac { a\sqrt[] { 3 } } { 2 } $ Do đó $ HK=\frac { SH.HE } { \sqrt[] { SH ^ { 2 } +HE ^ { 2 } } }=\frac { a\sqrt[] { 15 } } { 10 } $. Vậy $ d\left ( { A,\left ( { SBD } \right ) } \right )=2HK=\frac { a\sqrt[] { 15 } } { 5 }=a\sqrt[] { \frac { 3 } { 5 } } $.