Kim tự tháp ở Ai Cập có hình dạng là một hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy là $ 262 $m và cạnh bên là $ 230 $m. Giả sử, từ một mặt bên của kim tự tháp ta cần đào một con đường ngắn nhất để đi đến tâm của đáy kim tự tháp, khi đó quãng đường ngắn nhất tạo với mặt đáy 1 góc bao nhiêu độ? (kết quả làm tròn đến độ)

Giả sử các cạnh và các đỉnh của kim tự tháp được mô phỏng như hình vẽ bên dưới Gọi $ H $ là giao điểm của $ AC $ và $ BD $. Vì $ S.ABCD $ là chóp tứ giác đều nên ta có $ SA=SB=SC=SD $. Từ đó suy ra $ \left \{ \begin{array}{l} SH⊥BD \\ SH⊥AC \end{array} \right.⇒SH⊥\left ( { ABCD } \right ) $. Xét tam giác $ ABC $ vuông tại $ B $, ta có: $ AC=\sqrt[] { AB ^ { 2 } +BC ^ { 2 } }=262\sqrt[] { 2 } $ m. $ ⇒HC=\frac { AC } { 2 }=131\sqrt[] { 2 } $ m. Xét tam giác $ SHC $ vuông tại $ H $, ta có: $ SH=\sqrt[] { SC ^ { 2 } -HC ^ { 2 } }=\sqrt[] { \left ( { 230 } \right ) ^ { 2 } -\left ( { 131\sqrt[] { 2 } } \right ) ^ { 2 } }=\sqrt[] { 18578 } $. Gọi $ I $ là trung điểm của $ BC $, ta có $ SI⊥BC $ vì tam giác $ SBC $ cân tại $ S $ và ta có $ HI=\frac { AB } { 2 }=131 $m. Kẻ $ HJ⊥SI $, khi đó $ HJ⊥\left ( { SBC } \right ) $ vì $ \left \{ \begin{array}{l} HJ⊥SI \\ HJ⊥BC \end{array} \right. $, suy ra $ HJ $ là khoảng cách ngắn nhất để đào con đường vào tâm của đáy kim tự tháp. Xét tam giác $ SHI $ vuông tại $ H $, ta có: $ \frac { 1 } { HJ ^ { 2 } }=\frac { 1 } { SH ^ { 2 } }+\frac { 1 } { HI ^ { 2 } }=\frac { 1 } { 18578 }+\frac { 1 } { 17161 }=\frac { 35739 } { 18578.17161 } $$ ⇒HJ=\sqrt[] { \frac { 318817058 } { 35739 } } $m. Khi đó $ \left ( { HJ,\left ( { ABCD } \right ) } \right )=\left ( { HJ,HI } \right )= \widehat { JHI }\, $ Xét tam giác $ HJI $. $ \cos \widehat { JHI }=\frac { HJ } { HI }=\frac { \sqrt[] { \frac { 318817058 } { 35739 } } } { 131 }⇒ \widehat { JHI }≈44° $ Vậy góc tạo bởi quãng đường ngắn nhất và mặt đáy là $ 44° $.