Một công ty thiết kế muốn xây dựng một mái che hình chóp đều tứ giác $ S.ABCD $ cho một khu vực trưng bày ngoài trời. Đáy $ ABCD $ là hình vuông cạnh 4 mét. Chiều cao của mái che (khoảng cách từ đỉnh $ S $ đến mặt phẳng đáy) là 3 mét. Để đảm bảo thông gió, công ty muốn lắp đặt một ống thông gió nằm dọc theo đường thẳng $ CD $.

a) Đúng. Vì $ E $, $ F $ lần lượt là trung điểm của $ SA $ và $ SC $. Suy ra $ EF{ \rm{ // } }AC⇒EF{ \rm{ // } }\left ( { ABCD } \right ) $. b) Sai. Gọi $ O=AC∩BD⇒SO⊥\left ( { ABCD } \right )⇒d\left ( { S,\left ( { ABCD } \right ) } \right )=SO=3 $. Gọi $ I=EF∩SO $. Vì $ EI{ \rm{ //AC } } $ và $ E $ là trung điểm của $ SA $ nên $ I $ là trung điểm của $ SO $. Vì $ EF{ \rm{ // } }\left ( { ABCD } \right )⇒d\left ( { EF,\left ( { ABCD } \right ) } \right )=d\left ( { I,\left ( { ABCD } \right ) } \right )=IO=\frac { 3 } { 2 } $. c) Sai. Vì $ CD\,{ \rm{ // } }\,AB⇒CD{ \rm{ // } }\,\left ( { SAB } \right ) $ nên $ d\left ( { CD,\left ( { SAB } \right ) } \right )=d\left ( { C,\left ( { SAB } \right ) } \right ) $. Ta có $ \frac { d\left ( { C,\left ( { SAB } \right ) } \right ) } { d\left ( { O,\left ( { SAB } \right ) } \right ) }=\frac { CA } { OA }=2⇒d\left ( { C,\left ( { SAB } \right ) } \right )=2d\left ( { O,\left ( { SAB } \right ) } \right ) $ Gọi $ K $ là trung điểm $ AB $. Ta có $ \left \{ \begin{array}{l} AB⊥OK \\ AB⊥SO \end{array} \right.⇒AB⊥\left ( { SOK } \right ) $. Gọi $ H $ là hình chiếu của $ O $ trên $ SK $. Ta có$ \left \{ \begin{array}{l} OH⊥AB \\ OH⊥SK \end{array} \right.⇒OH⊥\left ( { SAB } \right )⇒d\left ( { O,\left ( { SAB } \right ) } \right )=OH $. Xét $ ΔSOK $ vuông tại $ O $, có $ OH $ là đường cao và $ SO=3 $, $ OK=\frac { BC } { 2 }=2 $ $ ⇒\frac { 1 } { OH ^ { 2 } }=\frac { 1 } { OS ^ { 2 } }+\frac { 1 } { OK ^ { 2 } }=\frac { 1 } { 3 ^ { 2 } }+\frac { 1 } { 2 ^ { 2 } }=\frac { 13 } { 36 }⇒OH=\frac { 6\sqrt[] { 13 } } { 13 } $. Suy ra $ d\left ( { C,\left ( { SAB } \right ) } \right )=2d\left ( { O,\left ( { SAB } \right ) } \right )=\frac { 12\sqrt[] { 13 } } { 13 } $$ ⇒d\left ( { CD,\left ( { SAB } \right ) } \right )=\frac { 12\sqrt[] { 13 } } { 13 } $. d) Đúng. Chiều dài ống thông gió bằng $ CD=4\,m $. Nên chi phí lắp đặt ống thông gió là $ 500000.4=2000000 $(đồng). Vì ống thông gió dài $ 4\,m $ mà cứ mỗi $ 2\,m $ của ống thông gió cần lắp 1 giá đỡ nên cần lắp 2 giá đỡ. Ta có có $ d\left ( { CD,\left ( { SAB } \right ) } \right )=\frac { 12\sqrt[] { 13 } } { 13 } $. Chi phí của 1 giá đỡ là $ 200000.\frac { 12\sqrt[] { 13 } } { 13 }≈665640 $(đồng) Tổng chi phí cho 2 giá đỡ là $ 665640.2=1331280 $ (đồng). Vậy số tiền công ty cần chi trả cho việc lắp đặt toàn bộ hệ thống là $ 1331280+2000000=3331280 $(đồng).