Bạn An muốn làm một chiếc đèn lồng bằng gỗ hình chóp tứ giác đều, có tất cả các cạnh bên và cạnh đáy đều bằng 20 cm như hình vẽ, được mô hình hóa bởi hình chóp tứ giác đều $ S.ABCD. $

a) Đúng. Do $ SO⊥\left ( { ABCD } \right ) $ nên $ d\left ( { S;\left ( { ABCD } \right ) } \right )=SO. $ b) Sai. Dựng $ OM,\,M∈CD $ ($ M $ là trung điểm $ CD $) Dựng $ OH⊥SM,\,H∈SM $ (1) Ta có: $ \left \{ \begin{array}{l} CD⊥OM \\ CD⊥SO \end{array} \right.\xrightarrow CD⊥\left ( { SOM } \right )\xrightarrow CD⊥OH $ (2) Từ (1) và (2) suy ra: $ OH⊥\left ( { SCD } \right )\xrightarrow d\left ( { O;\left ( { SCD } \right ) } \right )=OH. $ Xét tam giác $ SOM $ vuông tại $ O:\,\frac { 1 } { OH ^ { 2 } }=\frac { 1 } { OS ^ { 2 } }+\frac { 1 } { OM ^ { 2 } }\xrightarrow OH=\frac { 10\sqrt[] { 6 } } { 3 }. $ c) Đúng. Do $ AB\parallel CD\xrightarrow AB\parallel \left ( { SCD } \right ) $ nên $ d\left ( { AB;SC } \right )=d\left ( { AB;\left ( { SCD } \right ) } \right )=d\left ( { A;\left ( { SCD } \right ) } \right )\xrightarrow {\mathrm{ { \rm{ Theo ý b) } } }}\frac { 20\sqrt[] { 6 } } { 3 }≈16,3\left ( { cm } \right ). $ d) Đúng. Vì $ BD $ và $ SC $ chéo nhau nên đoạn ruy băng nối từ một điểm trên cạnh $ BD $ đến một điểm trên cạnh bên $ SC $ngắn nhất chính là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng $ BD $ và $ SC $. $ SO⊥\left ( { ABCD } \right )⇒SO⊥BD $. Lại có $ BD⊥AC $. Do đó $ BD⊥\left ( { SAC } \right ) $ tại $ O $. Kẻ $ OK⊥SC $tại $ K $. Vì $ \left \{ \begin{array}{l} BD⊥\left ( { SAC } \right ) \\ OK⊂\left ( { SAC } \right ) \end{array} \right.⇒BD⊥OK $ tại $ O $. Do đó $ d(BD;SC)=OK $. Mà tam giác $ HCO $ đồng dạng với tam giác $ OCS $ nên ta có $ OK=\frac { SO.CO } { SC }=\frac { 10\sqrt[] { 2 }.10\sqrt[] { 2 } } { 20 }=10 $ cm.