Cho hình chóp $ S.ABCD $, đáy $ ABCD $ là hình vuông cạnh bằng $ 2 $. Cạnh bên $ SA=2\sqrt[] { 2 } $. Hình chiếu vuông góc của đỉnh $ S $ trên mặt phẳng $ \left ( { ABCD } \right ) $ là điểm $ I $ của thuộc đoạn $ AC $ thỏa $ AC=4AI $. Khoảng cách giữa đường thẳng $ AD $ và $ SB $ bằng bao nhiêu (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)?

Ta có $ ABCD $ là hình vuông, suy ra: $ AD//BC⇒AD//\left ( { SBC } \right )⇒d\left ( { AD,\,SB } \right ) $ $ =d\left ( { AD,\,\left ( { SBC } \right ) } \right )=d\left ( { A,\,\left ( { SBC } \right ) } \right ) $. Mặt khác $ AC=4AI⇒\frac { AI } { AC }=\frac { 1 } { 4 }⇒\frac { CI } { AC }=\frac { 3 } { 4 } $ $ ⇒d\left ( { A,\,\left ( { SBC } \right ) } \right )=\frac { 4 } { 3 }d\left ( { I,\,\left ( { SBC } \right ) } \right ) $. Vẽ $ IH⊥BC $ tại $ H $, mà $ SI⊥\left ( { ABCD } \right )⇒SI⊥BC $. Suy ra $ BC⊥\left ( { SHI } \right ) $. Vẽ $ IK⊥SH $ tại $ K $. $ BC⊥\left ( { SHI } \right )⇒BC⊥IK⊂\left ( { SHI } \right ). $ Suy ra $ IK⊥\left ( { SBC } \right ) $ tại $ K ⇒d\left ( { I,\,\left ( { SBC } \right ) } \right )=IK. $ Ta có $ \left \{ \begin{array}{l} IH⊥BC \\ AB⊥BC \end{array} \right.⇒IH//AB⇒\frac { HI } { AB }=\frac { CI } { AC }=\frac { 3 } { 4 }⇒HI=\frac { 3 } { 4 }AB=\frac { 3 } { 2 }. $ Ta có $ AI=\frac { 1 } { 4 }AC=\frac { 1 } { 4 }.2\sqrt[] { 2 }=\frac { \sqrt[] { 2 } } { 2 }. $ $ SI⊥\left ( { ABCD } \right )⇒SI⊥AC $. Xét $ ΔSIA $ vuông tại $ I $, ta có: $ SI ^ { 2 } =SA ^ { 2 } -AI ^ { 2 } =\frac { 15 } { 2 } $. $ SI⊥\left ( { ABCD } \right )⇒SI⊥IH $. Xét $ ΔSIH $ vuông tại $ I $, ta có: $ \frac { 1 } { IK ^ { 2 } }=\frac { 1 } { IH ^ { 2 } }+\frac { 1 } { IS ^ { 2 } }=\frac { 26 } { 45 }⇒IK=\frac { 3\sqrt[] { 130 } } { 26 } $. $ d\left ( { A,\,\left ( { SBC } \right ) } \right )=\frac { 4 } { 3 }d\left ( { I,\,\left ( { SBC } \right ) } \right )=\frac { 4 } { 3 }.\frac { 3\sqrt[] { 130 } } { 26 }=\frac { 2\sqrt[] { 130 } } { 13 }≈1,75\, $.