Cho hình chóp $ S.ABCD $ có $ SA $ vuông góc với mặt phẳng $ \left ( { ABCD } \right ) $, tứ giác $ ABCD $ là hình vuông tâm $ O $ có cạnh bằng $ 1 $. Biết góc giữa hai mặt phẳng $ \left ( { SBC } \right ) $ và $ \left ( { ABCD } \right ) $ bằng $ 60° $. Khoảng cách từ $ O $ đến mặt phẳng $ \left ( { SBC } \right ) $ bằng bao nhiêu? (Làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)

Ta có: $ \left \{ \begin{array}{l} BC⊥AB \\ BC⊥SA \end{array} \right.⇒BC⊥\left ( { SAB } \right )⇒BC⊥SB. $ Suy ra $ \left ( { \left ( { SBC } \right );\left ( { ABCD } \right ) } \right )= \widehat { SBA }. $ Xét $ ΔSAB $ vuông tại $ A:SA=ABtan \widehat { SBA }=\sqrt[] { 3 }. $ Vì $ BC⊥\left ( { SAB } \right ) $ nên $ \left ( { SAB } \right )⊥\left ( { SBC } \right ). $ Dựng $ AH⊥SB⇒AH⊥\left ( { SBC } \right )⇒d\left ( { A;\left ( { SBC } \right ) } \right )=AH. $ Xét $ ΔSAB $ vuông tại A nên $ \frac { 1 } { AH ^ { 2 } }=\frac { 1 } { AS ^ { 2 } }+\frac { 1 } { AB ^ { 2 } }⇒AH=\frac { \sqrt[] { 3 } } { 2 }. $ Do $ C∈\left ( { SBC } \right ) $ và O là trung điểm AC nên $ d\left ( { O;\left ( { SBC } \right ) } \right )=\frac { 1 } { 2 }d\left ( { A;\left ( { SBC } \right ) } \right )=\frac { \sqrt[] { 3 } } { 4 }≈0,43. $