Cho các hàm số $ y=a ^ { x } $ và $ y=b ^ { x } $ với $ a,b $ là các số thực dương khác $ 1 $ có đồ thị như hình vẽ Đường thẳng $ y=m $ cắt trục tung, đồ thị hàm số $ y=a ^ { x } $ và $ y=b ^ { x } $ lần lượt tại $ H,M,N $ biết rằng $ HM=2MN $ và $ a=b\sqrt[] { 2 } $. Tính $ a ^ { 2 } -b ^ { 2 } $.

Gọi $ M\left ( { x_{ 1 } ;m } \right ),\,\,N\left ( { x_{ 2 } ;m } \right ) $ với $ x_{ 1 } >0;\,\,x_{ 2 } >0 $. Theo giả thiết $ HM=2MN⇔HN=\frac { 3 } { 2 }HM $. Suy ra $ x_{ 2 } =\frac { 3 } { 2 }x_{ 1 } $. (1) Vì $ M $, $ N $ lần lượt thuộc đồ thị hàm số $ y=a ^ { x } $ và $ y=b ^ { x } $nên $ a ^ { x_{ 1 } } =b ^ { x_{ 2 } } =m $. (2) Từ (1) và (2) ta có $ a ^ { x_{ 1 } } =b ^ { \frac { 3 } { 2 }x_{ 1 } } ⇔a ^ { 2x_{ 1 } } =b ^ { 3x_{ 1 } } ⇔\left ( { a ^ { 2 } } \right ) ^ { x_{ 1 } } =\left ( { b ^ { 3 } } \right ) ^ { x_{ 1 } } $. Suy ra $ a ^ { 2 } =b ^ { 3 } $, kết hợp $ a=b\sqrt[] { 2 } $ ta có $ \left \{ \begin{array}{l} 2b ^ { 2 } =b ^ { 3 } \\ a=\sqrt[] { 2 }b \end{array} \right.⇔\left \{ \begin{array}{l} b=2 \\ a=2\sqrt[] { 2 } \end{array} \right. $. Vậy $ a ^ { 2 } -b ^ { 2 } =8-4=4 $.