Cho đường thẳng $ y=2x+k $ lần lượt cắt đồ thị của các hàm số $ y=\left ( { \frac { 2 } { 3 } } \right ) ^ { x+3 } ,\quad y=\left ( { \frac { 2 } { 3 } } \right ) ^ { x+1 } +\frac { 8 } { 3 } $ tại các điểm $ P $ và $ Q $. Khi $ PQ=\sqrt[] { 5 } $, giá trị của $ 3k $ bằng bao nhiêu?

Từ $ Q $ kẻ đường thẳng vuông góc với trục $ Ox $, từ $ P $ kẻ đường thẳng vuông góc với $ Oy $. Khi đó hai đường thẳng vừa kẻ được sẽ cắt nhau tại $ R $. Xét tam giác vuông $ PQR $ ta có: $ PQ=\sqrt[] { 5 },\frac { QR } { PR }=2 $ nên suy ra được $ QR=2,PR=1 $ Gọi hoành độ của $ P $ là $ α $ thì hoành độ của $ Q $ là $ α+1 $. Từ đó ta có $ \left \{ \begin{array}{l} y_{ Q } =\left ( { \frac { 2 } { 3 } } \right ) ^ { α+2 } +\frac { 8 } { 3 } \\ y_{ P } =\left ( { \frac { 2 } { 3 } } \right ) ^ { α+3 } +1 \end{array} \right.⇒y_{ Q } -y_{ P } =\left ( { \frac { 2 } { 3 } } \right ) ^ { α+2 } \left ( { 1-\frac { 2 } { 3 } } \right )+\frac { 5 } { 3 }=2 $ Suy ra $ \frac { 1 } { 3 }\left ( { \frac { 2 } { 3 } } \right ) ^ { α+2 } =\frac { 1 } { 3 }⇔α+2=0⇔α=-2 $ Vậy $ P\left ( { -2;\frac { 5 } { 3 } } \right ) $ suy ra đường thẳng $ PQ $ có phương trình: $ y=2x+\frac { 17 } { 3 } $ hay $ k=\frac { 17 } { 3 }⇒3k=17 $