Như hình, với mọi số tự nhiên $ n≥3 $, gọi $ A,B $ lần lượt là các điểm giao của hai đồ thị $ y=n ^ { x } ,y=2 ^ { x } $ với đường thẳng $ x=1 $, và gọi $ C,D $ lần lượt là các điểm giao của $ y=n ^ { x } ,y=2 ^ { x } $ với đường thẳng $ x=2 $. Khi đó, hình thang $ ABDC $ có diện tích không quá 18. Tính tổng tất cả các giá trị tự nhiên $ n $ thỏa mãn.

Ta có tọa độ các điểm được xác định như sau: $ A\left ( { 1;n } \right ),B\left ( { 1;2 } \right ) $ nên $ AB=n-2 $ và $ C\left ( { 2;n ^ { 2 } } \right ),D\left ( { 2;4 } \right ) $ nên $ CD=n ^ { 2 } -4 $ Khi đó diện tích hình thang $ ABDC $ $ =\frac { 1 } { 2 }\left ( { n-2+n ^ { 2 } -4 } \right ).1=\frac { 1 } { 2 }\left ( { n-2 } \right )\left ( { n-3 } \right )≤18⇔\left ( { n-2 } \right )\left ( { n-3 } \right )≤36⇔-7≤n≤6 $ mà với mọi số tự nhiên $ n≥3 $, thì ta có $ n∈\left\{3;4;5;6\right\} $. Vậy tổng tất cả các giá trị tự nhiên $ n $ thỏa mãn bằng $ 18 $