Như hình, với số thực $ t $ thỏa mãn $ 1 < t < 100 $, lấy điểm $ P(0;t) $. Đường thẳng qua $ P $ và song song với trục $ x $ cắt đồ thị $ y=2 ^ { x } $ tại $ A $; gọi $ Q $ là hình chiếu vuông góc của $ A $ lên trục $ Ox $. Lấy điểm $ R(0;2t) $. Đường thẳng qua $ R $ và song song với trục $ Ox $ cắt đồ thị $ y=2 ^ { x } $ tại $ B $; gọi $ S $ là hình chiếu vuông góc của $ B $ lên trục $ Ox $. Gọi $ f(t) $ là diện tích tứ giác $ ABRP $, và $ g(t) $ là diện tích tứ giác $ AQSB $. Khi đó, tích tất cả các giá trị $ t $ sao cho $ \frac { f(t) } { g(t) } $ là số tự nhiên bằng bao nhiêu?

Ta có tọa độ các điểm sau: $ P\left ( { 0;t } \right ),R\left ( { 0;2t } \right ),A\left ( { \log_{ 2 } t;t } \right ),B\left ( { \log_{ 2 } (2t);2t } \right ) $ Xét $ f(t)=\frac { 1 } { 2 }.\left ( { \log_{ 2 } t+\log_{ 2 } (2t) } \right ).t=\frac { t } { 2 }\left ( { \log_{ 2 } t+\log_{ 2 } t+1 } \right )=\frac { t } { 2 }\left ( { 2\log_{ 2 } t+1 } \right ) $ Xét $ g\left ( { t } \right )=\frac { 1 } { 2 }.\left ( { 3t } \right ).1=\frac { 3 } { 2 }t $ Khi đó: $ \frac { f(t) } { g(t) }=\frac { 2\log_{ 2 } t+1 } { 3 }=n $ (là số tự nhiên) nên $ \log_{ 2 } t=\frac { 3n-1 } { 2 }⇒t=2 ^ { \frac { 3n-1 } { 2 } } $ Ta có bảng đánh giá như sau: $ n $ 1 2 3 4 5 $ 0 < t < 100 $ 2 $ 2 ^ { \frac { 5 } { 2 } } $ $ 2 ^ { 4 } $ $ 2 ^ { \frac { 11 } { 2 } } $ $ 2 ^ { 7 } =128>100 $ (loại) Vậy tích tất cả các giá trị $ t $ bằng: $ 2 ^ { 13 } =8192 $