Hai nguồn sóng cơ $A$ và $B$ dao động trên mặt chất lỏng theo các phương trình lần lượt là $x_{A} = 5\cos\Big(50\pi t - \frac{\pi}{6}\Big)\text{cm}$ và $x_{B} = 5\cos\Big(50\pi t + \frac{\pi}{3}\Big)\text{cm}$. Hai sóng này giao thoa với nhau tạo nên một sóng tổng hợp $x = x_{A} + x_{B}$. Biết tại các thời điểm $t = -\frac{1}{S} + \frac{k}{25}$ (giây) với $k, S \in \mathbb{N}^{*}$ thì sóng tổng hợp cao nhất. Tìm $S$.

Lời giải Ta có phương trình sóng tổng hợp: $$ x = x_{A} + x_{B} = 5\cos\Big(50\pi t - \frac{\pi}{6}\Big) + 5\cos\Big(50\pi t + \frac{\pi}{3}\Big) $$ Áp dụng công thức biến đổi tổng thành tích: $$ x = 2 \cdot 5\cos\left[\frac{\Big(50\pi t - \frac{\pi}{6}\Big) + \Big(50\pi t + \frac{\pi}{3}\Big)}{2}\right] \cdot \cos\left[\frac{\Big(50\pi t - \frac{\pi}{6}\Big) - \Big(50\pi t + \frac{\pi}{3}\Big)}{2}\right] $$ $$ \Leftrightarrow x = 10\cos\Big(50\pi t + \frac{\pi}{12}\Big)\cos\Big(-\frac{\pi}{4}\Big) $$ $$ \Leftrightarrow x = 5\sqrt{2}\cos\Big(50\pi t + \frac{\pi}{12}\Big) $$ Sóng tổng hợp cao nhất khi ly độ $x$ đạt giá trị lớn nhất, tức là: $$ \cos\Big(50\pi t + \frac{\pi}{12}\Big) = 1 $$ $$ \Leftrightarrow 50\pi t + \frac{\pi}{12} = k2\pi \quad (k \in \mathbb{Z}) $$ $$ \Leftrightarrow 50\pi t = -\frac{\pi}{12} + k2\pi $$ $$ \Leftrightarrow t = -\frac{1}{600} + \frac{k}{25} \quad (k \in \mathbb{Z}) $$ Theo giả thiết, thời điểm này có dạng $t = -\frac{1}{S} + \frac{k}{25}$ với $k, S \in \mathbb{N}^{*}$, đối chiếu với $t = -\frac{1}{600} + \frac{k}{25}$ ở trên, suy ra $S = 600$.