Cho hàm số $ y=\ln\left ( { x ^ { 2 } -4x+1+m } \right ) $ với $ m $ là tham số thực. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $ m $ thuộc khoảng $ \left ( { -2025\,;\,2025 } \right ) $ để hàm số đã cho xác định trên đoạn $ [3\,;9] $?

Hàm số đã cho xác định trên đoạn $ [3\,;9] ⇔ x ^ { 2 } -4x+1+m>0\,,\,∀x∈[3\,;9] $ (*) Xét hàm số $ f\left ( { x } \right )=x ^ { 2 } -4x+1+m $ trên đoạn $ [3\,;9] $. Bảng biến thiên: Do đó $ \left ( { * } \right )⇔m-2>0⇔m>2 $. Mà $ m∈\mathbb{Z}\,,\,m∈\left ( { -2025\,;\,2025 } \right ) $. Vậy $ m∈[3\,;\,2024] $ có $ 2022 $ giá trị nguyên.