Cho $ m,n∈\mathbb{N} ^ { * } $. Xét các mệnh đề chứa biến: $ P\left ( { m;n } \right ) $: “ $ m,n $ là hai số chính phương dương liên tiếp”. $ Q\left ( { m;n } \right ) $: “$ m.n-m-n+1 $ chia hết cho $ 24 $”. Có bao nhiêu mệnh đề đúng trong các mệnh đề “$ P\left ( { m;n } \right )⇒Q\left ( { m;n } \right ) $“ “$ Q\left ( { m;n } \right )⇒P\left ( { m;n } \right ) $” và “$ P\left ( { m;n } \right )⇔Q\left ( { m;n } \right ) $”.

Phát biểu mệnh đề $ P\left ( { m;n } \right )⇒Q\left ( { m;n } \right ): $“ Nếu $ m,n $ là hai số chính phương dương liên tiếp thì $ m.n-m-n+1 $ chia hết cho $ 24 $”. Mệnh đề này đúng vì: Giả sử: $ m=k ^ { 2 } ;\,n=\left ( { k+1 } \right ) ^ { 2 } $ với $ k∈\mathbb{N} ^ { * } $. Ta có: $ m.n-m-n+1=\left ( { m-1 } \right )\left ( { n-1 } \right )=\left[ k ^ { 2 } -1 \right]\left[ \left ( { k+1 } \right ) ^ { 2 } -1 \right]=k\left ( { k-1 } \right )\left ( { k+1 } \right )\left ( { k+2 } \right ) $. Mà $ k\left ( { k-1 } \right )\left ( { k+1 } \right )\left ( { k+2 } \right ) $ là tích của 4 số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho $ 24 $. Vậy mệnh đề là đúng. Phát biểu mệnh đề $ P\left ( { m;n } \right )⇒Q\left ( { m;n } \right ): $“ Nếu $ m.n-m-n+1 $ chia hết cho $ 24 $ thì $ m,n $ là hai số chính phương dương liên tiếp”. Mệnh đề này sai vì: Ta chọn $ m=7,n=5 $ thay vào ta được $ m.n-m-n+1=\left ( { m-1 } \right )\left ( { n-1 } \right )=\left ( { 7-1 } \right )\left ( { 5-1 } \right )=24\vdots 24 $. Nhưng $ m,n $ không là hai số chính phương dương liên tiếp. Do đó mệnh đề $ P\left ( { m;n } \right )⇔Q\left ( { m;n } \right ) $ là mệnh đề sai. Số mệnh đề đúng là $ 1 $.