Cho hình hộp chữ nhật $ABCD.A'B'C'D'$. Biết khoảng cách từ đỉnh $A$ tới $(A'BD)$ bằng $10$. Tính thể tích nhỏ nhất của khối hộp $ABCD.A'B'C'D'$ (làm tròn đến hàng đơn vị).

Lời giải Gọi độ dài 3 cạnh $AB = x, AD = y, AA' = z$. Thể tích khối hộp $V = xyz$. Khoảng cách từ $A$ tới mặt phẳng $(A'BD)$ là $h = 10$, ta có công thức: $$ \frac{1}{h^2} = \frac{1}{x^2} + \frac{1}{y^2} + \frac{1}{z^2} \Rightarrow \frac{1}{x^2} + \frac{1}{y^2} + \frac{1}{z^2} = \frac{1}{100} $$ Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 3 số dương: $$ \frac{1}{x^2} + \frac{1}{y^2} + \frac{1}{z^2} \geq 3 \sqrt[3]{\frac{1}{x^2 y^2 z^2}} = \frac{3}{\sqrt[3]{V^2}} $$ $$ \frac{1}{100} \geq \frac{3}{\sqrt[3]{V^2}} \Rightarrow \sqrt[3]{V^2} \geq 300 \Rightarrow V^2 \geq 300^3 = 27000000 $$ $$ V \geq \sqrt{27000000} \approx 5196 $$ Dấu “=” xảy ra khi $x = y = z = 10\sqrt{3}$.