Một mô hình kim tự tháp ở một khu du lịch có dạng hình chóp tứ giác đều với độ dài cạnh đáy là $ 16\,{ \rm{ mmm10 } }\,{ \rm{ m } } ^ { 2 } $. Biết rằng cứ mỗi mét vuông sơn cần trả $ 40000 $ đồng.

a) Đúng. Giả sử mô hình có hình dạng là hình chóp tứ giác đều $ S.ABCD $, đáy là hình vuông cạnh $ 16\,{ \rm{ m } } $ và $ SM=10\,{ \rm{ m } } $ với $ M $ là trung điểm của $ AB $, $ O $ là tâm đáy. Do đó $ SO $ là đường cao của hình chóp. Xét $ ΔSOM $ vuông tại $ O $ có $ SM=10 $, $ OM=\frac { 1 } { 2 }AD=8 $ nên $ SO=\sqrt[] { SM ^ { 2 } -OM ^ { 2 } } =\sqrt[] { 10 ^ { 2 } -8 ^ { 2 } }=6 $. Vậy thể tích của mô hình là: $ V=\frac { 1 } { 3 }SO\,.\,S_{ ABCD } =\frac { 1 } { 3 }\,\,.6\,.\,16 ^ { 2 } =512\,{ \rm{ m } } ^ { 3 } $. b) Sai. Vì $ SO⊥\left ( { ABCD } \right ) $ nên hình chiếu của $ SD $ trên mặt phẳng $ \left ( { ABCD } \right ) $ là $ OD $. Do đó: $ \left ( { SD\,,\,\left ( { ABCD } \right ) } \right )=\left ( { SD\,,\,OD } \right )= \widehat { SDO } $. Xét $ ΔSOD $ vuông tại $ O $ có $ SO=6 $; $ OD=\frac { 1 } { 2 }BD=\frac { 1 } { 2 }.16\sqrt[] { 2 }=8\sqrt[] { 2 } $ nên $ \tan \widehat { SDO }=\frac { SO } { OD } =\frac { 6 } { 8\sqrt[] { 2 } } ⇒ \widehat { SDO }≈27,9° $. c) Đúng. Giả sử bóng đèn treo ở vị trí điểm $ I $ nên $ OI=4\,;\,SI=2 $. Lại có $ OI∩\left ( { SAB } \right )=\left \{ \begin{array}{l} S \end{array} \right \} ⇒\frac { d\left ( { I,\left ( { SAB } \right ) } \right ) } { d\left ( { O,\left ( { SAB } \right ) } \right ) }=\frac { IS } { OS }=\frac { 1 } { 3 } $. Kẻ $ OH⊥SM $. Ta có: $ \left \{ \begin{array}{l} AB⊥IM \\ AB⊥SO \end{array} \right. ⇒AB⊥\left ( { SOM } \right ) $ mà $ OH⊂\left ( { SOM } \right ) ⇒AB⊥OH $. $ ⇒OH⊥\left ( { SAB } \right ) $. Do đó: $ d\left ( { O,\left ( { SAB } \right ) } \right )=\frac { SO\,.\,OM } { SM } =\frac { 6\,.\,8 } { 10 }=4,8 $. Vậy $ d\left ( { I,\left ( { SAB } \right ) } \right )=\frac { 1 } { 3 }d\left ( { O,\left ( { SAB } \right ) } \right ) =\frac { 1 } { 3 }\,.\,4,8=1,6\,{ \rm{ m } } $. d) Đúng. Diện tích bốn mặt xung quanh của mô hình là: $ S=4.\frac { 1 } { 2 }.16.10=320\,\,{ \rm{ m } } ^ { 2 } $. Do đó diện tích phần cần sơn phủ mô hình là: $ 320-10=310\,{ \rm{ m } } ^ { 2 } $. Vậy chi phí để hoàn thành việc sơn phủ mô hình là: $ 40000.310=12{ \rm{ } }400{ \rm{ } }000 $ đồng.