Trắc nghiệm · Câu 46
Cho hình lăng trụ $ ABC.A'B'C' $có cạnh bên bằng $ 2a $, góc giữa đường thẳng $ AA' $ và mặt phẳng $ (ABC) $ bằng $ 45 ^ { \circ } $. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng $ (ABC) $ và $ (A'B'C') $ là
Chọn một đáp án để kiểm tra ngay.
Xem đáp án và lời giải
Đáp án đúng
A.
$ a\sqrt[] { 2 } $.
Lời giải
Vì $ ABC.A'B'C' $ là hình lăng trụ nên $ (ABC) \parallel (A'B'C') $.
$ ⇒d\left ( { (ABC),(A'B'C') } \right )=d\left ( { A',(ABC) } \right ) $.
Gọi $ H $là hình chiếu vuông góc của $ A' $ lên $ (ABC) $, ta có: $ A'H⊥(ABC) $.
$ ⇒d\left ( { A',(ABC) } \right )=A'H. $ (1)
Do $ A'H⊥(ABC) $ nên $ AH $là hình chiếu của $ AA' $trên $ (ABC) $.
Suy ra góc giữa đường thẳng $ AA' $ và mặt phẳng $ (ABC) $ bằng $ \widehat { A'AH }=45 ^ { \circ } $.
Ta có: $ A'H⊥(ABC) $ và $ AH⊂(ABC) $ nên $ A'H⊥AH $.
Xét tam giác $ A'AH $ vuông tại $ H $có:
$ \sin \widehat { A'AH }=\frac { A'H } { AA' }⇒A'H=AA'.\sin \widehat { A'AH }=2a.\sin45 ^ { \circ } =\sqrt[] { 2 }a $ (2)
Vậy $ d\left ( { (ABC),(A'B'C') } \right )=a\sqrt[] { 2 } $.