Cho hình hộp chữ nhật $ABCD.A'B'C'D'$ có đáy là hình vuông cạnh bằng $2$, $B'D=3$. Khoảng cách từ điểm $C'$ đến mặt phẳng $\left(A'BC\right)$ bằng bao nhiêu? (Làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Lời giải Vì đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $2$, suy ra $BD=2\sqrt{2}$. Mà $B'D=3 \Rightarrow B'B = \sqrt{B'D^{2} - BD^{2}} = \sqrt{9 - 8} = 1$. Ta có $AC' \cap \left(A'BC\right) = O$ (với $O$ là trung điểm của $AC'$). Suy ra $d\left(C', \left(A'BC\right)\right) = d\left(A, \left(A'BC\right)\right)$. Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $A$ lên $A'B$. Ta có $\begin{cases} BC \perp AB \\ BC \perp BB' \end{cases} \Rightarrow BC \perp \left(ABB'A'\right)$, mà $AH \subset \left(ABB'A'\right)$ suy ra $BC \perp AH$. Ta có $\begin{cases} BC \perp AH \\ AH \perp A'B \end{cases} \Rightarrow AH \perp \left(A'BC\right)$. Suy ra $AH = d\left(A, \left(A'BC\right)\right)$. Tam giác $A'AB$ vuông tại $A$ và có $AH$ là đường cao nên: $$ AH = \frac{AA' \cdot AB}{\sqrt{AA'^{2} + AB^{2}}} = \frac{1 \cdot 2}{\sqrt{1^{2} + 2^{2}}} = \frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{5}}{5} \approx 0,89 $$