Cho hình chóp $ S.ABCD $ có tam giác $ SAB $ đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với $ (ABCD) $, tứ giác $ ABCD $ là hình vuông cạnh $ a $. Gọi $ H $ và $ E $ lần lượt là trung điểm của$ AB $ và $ CD $. Các khẳng định sau đúng hay sai?

a) Đúng. Vì $ ΔSAB $đều và $ H $ là trung điểm của $ AB $nên $ SH⊥AB $. Khi đó: $ \left \{ \begin{array}{l} \begin{array}{l} SH⊥AB \\ (SAB)⊥(ABCD)\quad \\ (SAB)∩(ABCD)=AB \\ \end{array} ⇒SH⊥(ABCD) \end{array} \right. $ b) Đúng. Gọi $ E $ là trung điểm $ CD $. Khi đó: +) $ \left ( { SCD } \right )∩\left ( { ABCD } \right )=CD $ +) $ \left \{ \begin{array}{l} CD⊥HE \\ CD⊥SH \end{array} \right.⇒CD⊥SE $ Suy ra $ \left[ S;CD;B \right]= \widehat { SEH }. $ Xét $ ΔSEH:SH=\frac { a\sqrt[] { 3 } } { 2 };HE=a⇒\tan \widehat { SEH }=\frac { SH } { HE }=\frac { \frac { a\sqrt[] { 3 } } { 2 } } { a }=\frac { \sqrt[] { 3 } } { 2 }⇒ \widehat { SEH }≈41 ^ { 0 } . $ c) Đúng. Ta có $ HE⊥AB;HE⊥SH⇒HE⊥\left ( { SAB } \right ) $ Mặt khác $ HE⊂\left ( { SHE } \right ) $. Vậy $ \left ( { SAB } \right )⊥\left ( { SHE } \right ) $. d) Sai. Vì $ AH//CD⇒AH//\left ( { SCD } \right ) $ nên $ d\left ( { A;\left ( { SCD } \right ) } \right )=d\left ( { H;\left ( { SCD } \right ) } \right ) $. Gọi $ K $ là hình chiếu vuông góc của $ H $ lên $ SE $. Ta có $ HK⊥SE;HK⊥CD $ ( vì $ CD⊥HE;CD⊥SH⇒CD⊥\left ( { HE } \right )⇒CD⊥HK $) Suy ra $ HK⊥\left ( { SCD } \right )⇒d\left ( { H;\left ( { SCD } \right ) } \right )=HK $ $ ΔSHE $ vuông tại $ H $, đường cao $ HK $: $ \frac { 1 } { HK ^ { 2 } }=\frac { 1 } { SH ^ { 2 } }+\frac { 1 } { HE ^ { 2 } }=\frac { 7 } { 3a ^ { 2 } } $$ ⇒HK=\frac { a\sqrt[] { 21 } } { 7 } $. Vây $ d(H,(SCD))=\frac { a\sqrt[] { 21 } } { 7 } $.