Cho hình chóp $ S.ABCD $, có đáy $ ABCD $ là hình thang vuông tại $ A $ và $ D $, $ AB=2a $, $ AD=CD=a $, $ SA=2a, SA $ vuông góc với mặt phẳng đáy.

a) Đúng. Ta có $ SA⊥\left ( { ABCD } \right )⇒SA⊥BC    \left ( { 1 } \right ) $ Mặt khác theo giả thiết ta có $ ABCD $ là hình thang vuông tại $ A $ và $ D $, $ AB=2AD=2CD=2a $ nên tam giác $ ABC $ vuông cân tại $ C $, hay $ AC⊥BC    \left ( { 2 } \right ) $. Từ $ \left ( { 1 } \right ) $ và $ \left ( { 2 } \right ) $ suy ra $ BC⊥\left ( { SAC } \right ) $. b) Đúng. Ta có $ \left \{ \begin{array}{l} DC⊥AD  \\ DC⊥SA  \end{array} \right.⇒DC⊥\left ( { SAD } \right ) $ Mà $ DC⊂\left ( { SDC } \right )⇒\left ( { SDC } \right )⊥\left ( { SAD } \right )  $. c) Sai. Theo giả thiết ta có tam giác $ ACD $ vuông cân tại $ D $. Gọi $ H $ là trung điểm của $ AC $, ta có $ DH⊥AC $. Mà $ SA⊥DH $, do đó $ DH⊥\left ( { SAC } \right ) $. Khi đó góc giữa $ SD $ với mặt phẳng $ \left ( { SAC } \right ) $ chính là góc $ \widehat { DSH } $. Xét tam giác $ SHD $ vuông tại $ H $, có $ DH=\frac { a\sqrt[] { 2 } } { 2 },SD=a\sqrt[] { 5 } $. Suy ra $ \sin \widehat { DSH }=\frac { \sqrt[] { 10 } } { 10 } $ hay $ \widehat { DSH }\simeq 18° $. d) Đúng. Kẻ $ AK⊥SC,\,\,K∈SC $. Ta có $ \left \{ \begin{array}{l} AK⊥SC \\ AK⊥BC\,\,\left ( { do\,\,BC⊥\left ( { SAC } \right ) } \right ) \end{array} \right.⇒AK⊥\left ( { SBC } \right ) \\ ⇒d\left ( { A,\left ( { SBC } \right ) } \right )=AK $ Có $ \frac { 1 } { AK ^ { 2 } }=\frac { 1 } { SA ^ { 2 } }+\frac { 1 } { SA ^ { 2 } }⇒AK=\frac { 2a\sqrt[] { 3 } } { 3 } $