Cho lăng trụ đứng $ ABC.A'B'C' $ có đáy là tam giác vuông cân,$ AB=AC=\sqrt[] { 3 } $.Đường thẳng $ AC' $ hợp với mặt phẳng $ \left ( { BCC'B' } \right ) $ một góc bằng $ 30° $.Khoảng cách giữa hai đường thẳng $ BC $ và $ AC' $ bằng?

Gọi $ M $,$ N $ lần lượt là là trung điểm của cạnh $ BC $ và $ B'C' $.Ta có $ AM⊥BC $ và $ A'N⊥B'C' $. Mặt khác$ ABC.A'B'C' $ là lăng trụ đứng nên $ BB'⊥AM $. Suy ra $ AM⊥\left ( { BCC'B' } \right ) $ nên góc tạo bởi đường thẳng $ AC' $ với mặt phẳng $ \left ( { BCC'B' } \right ) $ là góc $ \widehat { AC'M } $.Theo giả thiết ra có $ \widehat { AC'M }=30° $. Ta có $ AM=\frac { 1 } { 2 }BC=\frac { \sqrt[] { 6 } } { 2 } $,$ C'M=AMcot \widehat { AC'M }=3\sqrt[] { 2 } $, $ CC'=\sqrt[] { C'M ^ { 2 } -CM ^ { 2 } }=\sqrt[] { \frac { 18 } { 4 }-\frac { 6 } { 4 } }=\sqrt[] { 3 } $. Do $ BC{ \rm{ // } }B'C' $ $ ⇒BC{ \rm{ // } }\left ( { AB'C' } \right ) $ nên $ d\left ( { AC',BC } \right )=d\left ( { BC,\left ( { AB'C' } \right ) } \right )=d\left ( { M,\left ( { AB'C' } \right ) } \right ) $. Dễ thấy $ A'N⊥B'C' $,$ MN⊥B'C' $ $ ⇒B'C'⊥\left ( { AMNA' } \right ) $ $ ⇒\left ( { AB'C' } \right )⊥\left ( { AMNA' } \right ) $. Trong $ \left ( { AMNA' } \right ) $,kẻ $ MH⊥AN $ suy ra $ MH⊥\left ( { AB'C' } \right ) $ (do $ AN=\left ( { AB'C' } \right )∩\left ( { AMNA' } \right ) $). Xét tam giác vuông $ AMN $ ta có $ \frac { 1 } { MH ^ { 2 } }=\frac { 1 } { AM ^ { 2 } }+\frac { 1 } { MN ^ { 2 } }=\frac { 3 } { 3 }=1 $ $ ⇒MH=1 $.Vậy $ d\left ( { AC',BC } \right )=1 $.