Cho hình chóp $ S.ABCD $ có đáy $ ABCD $ là hình vuông tâm O, cạnh $ a $. $ SO $ vuông góc với mặt phẳng đáy và $ SO=a $. $ I $ là trung điểm của $ CD. $ Các mệnh đề sau đúng hay sai?

a) đúng. $ O,{ \rm{ // } }BC⇒OI⊥CD $ Có $ \left \{ \begin{array}{l} OI⊥SO \\ OI⊥CD \end{array} \right. $ nên $ OI $là đoạn vuông góc chung của $ SO $và$ CD $. b) sai. Gọi $ K $là trung điểm của $ BC $suy ra $ OK{ \rm{ // } }AB ⇒OK⊥BC $ Có $ \left \{ \begin{array}{l} OK⊥SO \\ OK⊥BC \end{array} \right. $ nên $ OK $là đoạn vuông góc chung của $ SO $và$ BC $. Suy ra khoảng cách giữa hai đường thẳng $ SO $và $ BC $bằng $ OK=\frac { 1 } { 2 }BC=\frac { 1 } { 2 }a $. c) sai. Có $ \left \{ \begin{array}{l} OI{ \rm{ // } }BC \\ OI⊂\left ( { SOI } \right ) \end{array} \right.⇒BC{ \rm{ // } }\left ( { SOI } \right )⇒d\left ( { SI,BC } \right )=d\left ( { BC,\left ( { SOI } \right ) } \right )=d\left ( { C,\left ( { SOI } \right ) } \right ) $ Lại có $ \left \{ \begin{array}{l} CI⊥OI \\ CI⊥SO \end{array} \right.⇒CI⊥\left ( { SOI } \right )⇒d\left ( { C,\left ( { SOI } \right ) } \right )=CI=\frac { 1 } { 2 }a $ Suy ra khoảng cách giữa hai đường thẳng $ SI $và $ BC $bằng $ \frac { 1 } { 2 }a $. d) đúng. Ta có $ \left \{ \begin{array}{l} AB{ \rm{ // } }CD \\ CD⊂\left ( { SCD } \right ) \end{array} \right.⇒AB{ \rm{ // } }\left ( { SCD } \right ) $$ ⇒d\left ( { AB,SC } \right )=d\left ( { AB,\left ( { SCD } \right ) } \right )=d\left ( { A,\left ( { SCD } \right ) } \right ) $ Lại có $ AO∩\left ( { SCD } \right )=C⇒\frac { d\left ( { A,\left ( { SCD } \right ) } \right ) } { d\left ( { O,\left ( { SCD } \right ) } \right ) }=\frac { AC } { OC }=2⇒d\left ( { A,\left ( { SCD } \right ) } \right )=2d\left ( { O,\left ( { SCD } \right ) } \right ) $ Vì $ \left \{ \begin{array}{l} CD⊥OI \\ CD⊥SO \end{array} \right.⇒CD⊥\left ( { SOI } \right ) $ Trong tam giác $ SOI $kẻ $ OH⊥OI $$ ⇒OH⊥CD $ Có $ \left \{ \begin{array}{l} OH⊥CD \\ OH⊥OI \end{array} \right.⇒OH⊥\left ( { SCD } \right )⇒d\left ( { O,\left ( { SCD } \right ) } \right )=OH $ Trong tam giác vuông $ SOI $có $ \frac { 1 } { OH ^ { 2 } }=\frac { 1 } { SO ^ { 2 } }+\frac { 1 } { OI ^ { 2 } }=\frac { 1 } { a ^ { 2 } }+\frac { 1 } { \left ( { \frac { 1 } { 2 }a } \right ) ^ { 2 } }=\frac { 5 } { a ^ { 2 } }⇒OH=\frac { \sqrt[] { 5 }a } { 5 } $ Suy ra khoảng cách giữa hai đường thẳng $ AB $và $ SC $bằng $ 2OH=\frac { 2\sqrt[] { 5 } } { 5 }a $.