Cho hình lăng trụ tam giác đều $ ABC.A'B'C' $có tất cả các cạnh bằng $ a $. Gọi $ M $là trung điểm của $ AA' $.

a) Đúng. Khoảng cách giữa hai đường thẳng $ AB\, $và $ A'B' $ bằng $ AA'=a $ (do $ AB\, $// $ A'B' $) b) Sai. Ta có $ AB\,⊥BB' $ và $ B'C'\,⊥BB' $ Khoảng cách giữa hai đường thẳng $ AB\, $và $ B'C' $ bằng $ BB' $ ($ BB'=a $) Khoảng cách giữa hai đường thẳng $ AB\, $và $ A'B' $ bằng $ AA'=a $ ( do $ AB\, $// $ A'B' $) c) Sai. Gọi $ I $ là trung điểm của $ B'C'\, $ $ AA'\,⊥A'I $, tam giác $ A'B'C' $đều nên $ A'I\,⊥B'C' $ Khoảng cách giữa hai đường thẳng $ AA'\, $và $ B'C' $ bằng $ A'I $ ( $ I $là trung điểm của $ B'C' $), $ A'I=\frac { a\sqrt[] { 3 } } { 2 } $ d) Đúng. Gọi $ H $là hình chiếu của $ A' $ trên $ MI $ $ E $ là giao điểm của $ A'B\, $và $ MB'\, $ Do $ BC $ // $ B'C' $ nên $ d(B'M,BC)=d(BC,(MB'C')) $ $ =d(B,(MB'C')) $ $ =2d(A',(MB'C')) $( do $ \frac { BE } { A'E }=\frac { BB' } { A'M }=2 $) $ d(A',(MB'C'))=A'H $ Ta có $ A'I=\frac { a\sqrt[] { 3 } } { 2 } $; $ A'M=\frac { a } { 2 } $ Suy ra $ A'H=\frac { \frac { a } { 2 }.\frac { a\sqrt[] { 3 } } { 2 } } { \sqrt[] { \frac { a ^ { 2 } } { 4 }+\frac { 3a ^ { 2 } } { 4 } } }=\frac { a\sqrt[] { 3 } } { 4 } $. Vậy $ d(B'M,BC)=\frac { a\sqrt[] { 3 } } { 2 } $