Trong mặt phẳng với hệ tọa độ $ Oxy $cho $ ({ \rm{ H } }):9x ^ { 2 } -y ^ { 2 } -9=0 $. Gọi $ M\left ( { a;b } \right ) $trên $ ({ \rm{ H } }) $ là những điểm nhìn đoạn nối hai tiêu điểm dưới góc vuông. Tính $ a ^ { 2 } +b ^ { 2 } $.

(H): $ 9x ^ { 2 } -y ^ { 2 } -9=0⇔x ^ { 2 } -\frac { y ^ { 2 } } { 9 }=1 $. Ta có: $ a=1,b=3⇒c=\sqrt[] { 10 } $. $ { \rm{ M } }\left ( { x_{ 0 } ,y_{ 0 } } \right )∈({ \rm{ H } })⇔9x_{ 0 } ^{ 2 }-y_{ 0 } ^{ 2 }=9\quad (1) $. Điểm M nhìn đoạn nối hai tiêu điểm dưới góc vuông nên M thuộc đường tròn $ ({ \rm{ C } }) $ đường kính $ F_{ 1 } F_{ 2 } $, tức là tâm $ { \rm{ O } },R=\frac { F_{ 2 } F_{ 2 } } { 2 }=\sqrt[] { 10 } $.$ ⇒M∈({ \rm{ C } }):x ^ { 2 } +y ^ { 2 } =10⇒x_{ 0 } ^{ 2 }+y_{ 0 } ^{ 2 }=10. $ Kết hợp với (1) $ ⇒x_{ 0 } ^{ 2 }=\frac { 19 } { 10 };y_{ 0 } ^{ 2 }=\frac { 81 } { 10 } $. $ ⇒M_{ 1 } \left ( { -\frac { \sqrt[] { 190 } } { 10 },-\frac { 9\sqrt[] { 10 } } { 10 } } \right ),M_{ 2 } \left ( { -\frac { \sqrt[] { 190 } } { 10 },\frac { 9\sqrt[] { 10 } } { 10 } } \right ),M_{ 3 } \left ( { \frac { \sqrt[] { 190 } } { 10 },\frac { 9\sqrt[] { 10 } } { 10 } } \right ),M_{ 4 } \left ( { \frac { \sqrt[] { 190 } } { 10 },-\frac { 9\sqrt[] { 10 } } { 10 } } \right ) $. Vậy $ a ^ { 2 } +b ^ { 2 } =10. $