(THPT Lê Thánh Tông - HCM 2025) Cho hình chóp $ S.ABC{ \rm{ D } } $có đáy $ ABC{ \rm{ D } } $ là hình thoi cạnh $ 2 $, $ \widehat { ABC }=120° $, $ SB=2 $. Mặt phẳng $ \left ( { SA{ \rm{ D } } } \right ) $ vuông góc với đáy và cạnh $ SA $ tạo với mặt phẳng đáy một góc $ 60° $. Thể tích khối chóp $ S.ABC{ \rm{ D } } $bằng?

Gọi $ H $ là hình chiếu vuông góc của $ S $ lên cạnh $ A{ \rm{ D } } $. Vì $ \left ( { SA{ \rm{ D } } } \right )⊥\left ( { ABC{ \rm{ D } } } \right ) $ nên $ SH⊥\left ( { ABC{ \rm{ D } } } \right ) $. Do đó $ \widehat { \left ( { SA;\left ( { ABC{ \rm{ D } } } \right ) } \right ) }= \widehat { SAH }=60 ^ { \circ } $. $ S_{ ABC{ \rm{ D } } } =2{ \rm{ S } }_{ ΔABC } =2.\frac { 1 } { 2 }.BA.BC.\sin \widehat { ABC }=2.2.\sin120 ^ { \circ } =2\sqrt[] { 3 } $ Đặt $ AH=x,\,\left ( { 0 < x < 2 } \right ) $ Vì $ ΔSAH $ vuông tại $ H $ và $ \widehat { SAH }=60 ^ { \circ } $ nên $ \tan60 ^ { \circ } =\frac { SH } { AH }⇒SH=x\sqrt[] { 3 } $. (1) Áp dụng định lý cosin cho $ ΔAHB $ ta có $ HB ^ { 2 } =x ^ { 2 } +2 ^ { 2 } -2.x.2.\cos60 ^ { \circ } =x ^ { 2 } -2x+4 $. $ ΔSHB $ vuông tại $ H $ ta có $ SH ^ { 2 } =SB ^ { 2 } -HB ^ { 2 } =2 ^ { 2 } -\left ( { x ^ { 2 } -2x+4 } \right )=2x-x ^ { 2 } $. (2) Từ (1) và (2) suy ra $ 3x ^ { 2 } =2x-x ^ { 2 } ⇔\left[ \begin{array}{l} x_{ 1 } =0 \\ x_{ 2 } =\frac { 1 } { 2 } \end{array} \right. $ Đối chiếu điều kiện chọn $ x=\frac { 1 } { 2 } $. Do đó $ SH=\frac { \sqrt[] { 3 } } { 2 } $. Vậy $ V_{ S.ABC{ \rm{ D } } } =\frac { 1 } { 3 }.S_{ ABC{ \rm{ D } } } .SH=\frac { 1 } { 3 }.2\sqrt[] { 3 }.\frac { \sqrt[] { 3 } } { 2 }=1 $.