(THPT Sóc Sơn - Hà Nội 2025) Cho hình vuông $ ABCD $ có cạnh bằng $ \sqrt[] { 8 } $, $ ED $ vuông góc với mặt phẳng $ \left ( { ABCD } \right ) $, $ FB $ song song với $ ED $ và $ 2AB=ED=2FB $ (như hình vẽ). Tính khoảng cách giữa $ AB $ và $ EF $.

Xét hệ trục toạ độ $ Oxyz $ sao cho $ O≡D $. Khi đó ta có $ 2AB=ED=2FB⇒ED=2\sqrt[] { 8 },FB=\sqrt[] { 8 } $ Toạ độ các điểm là $ D\left ( { 0;0;0 } \right ),\,C\left ( { \sqrt[] { 8 };0;0 } \right ),\,A\left ( { 0;\sqrt[] { 8 };0 } \right ),\,B\left ( { \sqrt[] { 8 };\sqrt[] { 8 };0 } \right ),\,E\left ( { 0;0;2\sqrt[] { 8 } } \right ),F\left ( { \sqrt[] { 8 };\sqrt[] { 8 };\sqrt[] { 8 } } \right ) $. $ \overset\rightarrow { AB }=\left ( { \sqrt[] { 8 };0;0 } \right ),\,\overset\rightarrow { EF }=\left ( { \sqrt[] { 8 };\sqrt[] { 8 };-\sqrt[] { 8 } } \right ),\overset\rightarrow { BF }=\left ( { 0;0;\sqrt[] { 8 } } \right ) $, $ \left[ \overset\rightarrow { AB },\overset\rightarrow { EF } \right]=\left ( { 0;8;8 } \right ) $. Ta có $ d\left ( { AB,EF } \right )=\frac { \left | { \left[ \overset\rightarrow { AB },\overset\rightarrow { EF } \right]⋅\overset\rightarrow { BF } } \right | } { \left | { \left[ \overset\rightarrow { AB },\overset\rightarrow { EF } \right] } \right | }=\frac { 8\sqrt[] { 8 } } { 8\sqrt[] { 2 } }=2 $.