(THPT Trực Ninh - Nam Định 2025) Cho hàm số $y = f(x)$ có đạo hàm $f'(x) = 8x^3 + \sin x, \forall x \in \mathbb{R}$. Biết $f(0) = 3$.

Question

Beedemy · Accepted Answer

a. Hàm số $y = f(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f'(x)$. Đúng. b. Biết $F(x)$ là nguyên hàm của $f(x)$ thỏa $F(0) = 2$. Khi đó $F(1) = \frac{32}{5} - \sin 1$. Đúng. c. $f(x) = 2x^4 - \cos x + 4$. Đúng. d. Giá trị nhỏ nhất của hàm số $f(x)$ trên $\mathbb{R}$ là 3. Đúng. Lời giải: Lời giải a) Đúng. Theo định nghĩa, nguyên hàm của đạo hàm chính là hàm số đó (cộng hằng số). b) Đúng. Ta có $f(x) = \int (8x^3 + \sin x) \, dx = 2x^4 - \cos x + C$. Vì $f(0) = 3 \Rightarrow -1 + C = 3 \Rightarrow C = 4$. Vậy $f(x) = 2x^4 - \cos x + 4$. $F(x) = \int (2x^4 - \cos x + 4) \, dx = \frac{2}{5}x^5 - \sin x + 4x + C_1$. Vì $F(0) = 2 \Rightarrow C_1 = 2$. $F(1) = \frac{2}{5} - \sin 1 + 4 + 2 = \frac{32}{5} - \sin 1$. c) Đúng. Như đã tính ở câu b). d) Đúng. $f(x) = 2x^4 - \cos x + 4$. Vì $\cos x \le 1 \Rightarrow -\cos x \ge -1$. Do đó $f(x) \ge 0 - 1 + 4 = 3$. Dấu bằng xảy ra khi $x = 0$.

(THPT Trực Ninh - Nam Định 2025) Cho hàm số $y = f(x)$ có đạo hàm $f'(x) = 8x^3 + \sin x, \forall x \in \mathbb{R}$. Biết $f(0) = 3$.

Cùng dạng: Tìm nguyên hàm F(x) thỏa mãn điều kiện biên F(x₀) = y₀